نهايه بسيطه (8)0

[امام مسلم]

السلام عليكم :

أوجد :

\Large \lim_{x\to\ 0}\left (\frac{1-cosxcos2xcos3x}{1-cosx}\right)

[mohey]

نحن نعلم ان : حتا2س = 2(حتاس)2-1 ، حتا3س = حتاس((4حتاس)2 -3)

نفرض ان حتاس = ص ، ص ــــــــــــ 1

نها 1 - ص(2ص2-1)(ص)(4ص2 - 3) / (1-ص)
ص ـــ1


نهــــــا 8ص6-10ص4+3ص2-1/ص-1
ص ــــ 1
(قسمة تركيبية)
نها 8ص5 +8ص4-2ص3-2ص2+ص+1= 14
ص ـــ 1

كتابة الحل باللاتيك :

\red\LARGE {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\cos 2x\cos 3x}}{{1 - \cos x}}

نعلم أن : \blue\LARGE\cos 2x = 2\cos ^2 x - 1\quad ,\quad \cos 3x = \cos x(4\cos ^2 x - 3)

وبفرض أن : \red\LARGE\cos x = y\quad \Rightarrow \quad y \to 1

\LARGE \Rightarrow \ {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\cos 2x\cos 3x}}{{1 - \cos x}} = \ {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{{1 - y(2y^2 - 1))(4y^3 - 3y)}}{{1 - y}}

\LARGE = \ {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{{8y^6 - 10y^4 + 3y^2 - 1}}{{y - 1}} = \ {\lim }\limits_{y \to 1} (8y^5 + 8y^4 - 2y^3 - 2y^2 + y + 1) = 14