هاوي>>
02-12-2007, 06:04 PM
المشتقة الأولى للدوال المثلثية
أولاً : حاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 ³ حا س ³ 1
د(س) = حا س .............. (1)
د(س + هـ) = حا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
ت(هـ) = حا( س + هـ) – حا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
ت(هـ) = [حا( س + هـ) – حا س]
ت(هـ) = 2 حتا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
ت(هـ) = 2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
م(هـ) = [2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= حتا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
م(هـ) = حتا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
د¯(س) = حتاس
نتيجة : د(س) = حا[ق(س)] فإن : د¯(س) = حتا[ق(س)] × ق¯(س)
نتيجة : د(س) = حان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حان – 1ق(س)] × حتاق(س) × ق¯(س)
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(1) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = س2 حا س
الحــل :
مشتقة حاصل ضرب دالتين (س2 ، حاس) = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + مشتقة الدالة الأولى × الدالة الثانية
ص¯ = س2حتاس + 2 س حا س
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(2) :
إذا كانت د(س) = حا( 2 س + 3 ) فأوجد د¯(س) عند س = 43.5ه
الحــل :
د¯(س) = حتا(2 س + 3) × 2 مشتقة الدالة الدائرية × مشتقة الزاوية
د¯(س) = 2 حتا(2 س + 3) عند أي قيمة للمتغير س
د¯(43.5ه) = 2حتا( 2 × 43.5ه + 3) = 2 حتا90ه = 2 × 0 = 0
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(3) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ق(س) = 3 حا3(2 س2 + 3س +1)
الحـل :
ق¯(س) = 3 × 3[حا2(2 س2 + 3س +1)] × [حتا(2 س2 + 3س +1)] × ( 4 س + 3)
ق¯(س) = 9(4 س + 3)حا2(2 س2 + 3س +1)حتا(2 س2 + 3س +1)
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(4) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = حا2س حتا2س
الحـل :
يمكن حل المسألة على أساس حاصل ضرب دالتين ولكن لدينا قانون حا2س = 2 حاس حتاس وهذا يقودنا لجعل المسألة في جيب الزاوية
ص = 4 حا2س حتا2س ÷ 4
ص = ¼ حا2(2س)
ص¯ = ¼ × 2 حا2س × حتا2س × 2
ص¯ = حا2س × حتا2س
ص¯ = ½ حا4س
--------------------------------------------------------------------------------
ثانياً : حتاس
د(س) = حتا س .............. (1)
د(س + هـ) = حتا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
ت(هـ) = حتا( س + هـ) – حتا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) التغير في الدالة
وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
ت(هـ) = [حتا( س + هـ) – حتا س]
ت(هـ) = –2 حا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
ت(هـ) = –2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
م(هـ) = [–2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= – حا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
م(هـ) = – حا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
د¯(س) = – حاس
نتيجة : د(س) = حتا[ق(س)] فإن : د¯(س) = – حا[ق(س)] × ق¯(س)
نتيجة : د(س) = حتان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حتان – 1ق(س)] × – حاق(س) × ق¯(س) وهذا ينطبق على باقي الدوال الدائرية
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(1) :
إذا كانت س حا ص + ص حتا س = 0 فأوجد ص¯
الحـل :
بإجراء الاشتقاق لحاصل ضرب دالتين على حديّ المعادلة
س حتا ص × ص¯ + 1× حا ص + ص × – حاس + ص¯ حتا س =0
ص¯( س حتا ص + حتا س) – ( ص حا س – حا ص ) = 0
ص¯ = ( ص حا س – حا ص ) ÷ ( س حتا ص + حتا س)
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(2) :
إذا كانت د(س) = 2 حتا2س – 1 فأوجد د¯(45ه)
الحـل :
د¯(س) = 2 × 2 حتا س × (– حا س)
د¯(س) = –4 حتا س حا س يمكن وضعها بالصورة
د¯(س) = –2 حا2س حيث حا 2س = 2 حاس حتاس
د¯(45ه) = –2 حا2×45ه
د¯(45ه) = –2 حا90ه
د¯(45ه) = –2 × 1
د¯(45ه) = –2
حـل آخر
د(س) = حتا2س لأن حتا2س = حتا2س – حا2س = 2 حتا2س – 1 = 1 – 2 حا2س
د¯(س) = – حا2س × 2
د¯(س) = –2 حا2س
د¯(45ه) = –2 حا90ه = – 2 × 1 = – 2
--------------------------------------------------------------------------------
ثالثاً : طا س
د(س) = طا س يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابقة ولكن سنستخدم الطريقة التاللية
د(س) = حا س ÷ حتا س بالاشتقاق كقسمة دالتين
د¯(س) = [ حتا س × حتا س – حا س × – حا س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = [ حتا2س + حا2س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = 1÷ حتا2س
د¯(س) = قا2س
نتيجة : د(س) = طا[ق(س)] فإن : د¯(س) = قا2[ق(س)] × ق¯(س)
--------------------------------------------------------------------------------
رابعاً : طتا س
هنا يمكن استخدام الطريقة العادية باستخدام المبادئ الأولية أو طتاس = حتاس ÷ حاس أو طتاس = طا(½ ط – س) أو طتاس = 1 ÷ طاس
د(س) = طتا س
د(س) = طا(½ ط – س)
د¯(س) = قا2(½ ط – س) × – 1
د¯(س) = – قتا2س
--------------------------------------------------------------------------------
خامساً : قا س
د(س) = قا س
د(س) = 1 ÷ حتا س
د¯(س) = [ حتا س × 0 – 1 × – حا س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = حا س ÷ حتا س جتا س
د¯(س) = قا س طا س
--------------------------------------------------------------------------------
سادساً : قتا س
د(س) = قتا س
د(س) = 1 ÷ حا س
د¯(س) = [ حا س × 0 – 1 × حتا س ] ÷ حا2س
د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
د¯(س) = – قتا س طتا س
أو
د(س) = قتا س
د(س) = 1 ÷ حاس = حا-1س
د¯(س) = – حا-2س × حتا س
د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
د¯(س) = – قتا س طتا س
مع اطيب التمنيات للجميع بألفهم والفائدة
ولاتنسونا بالدعاء وشكرا
أولاً : حاس
رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 ³ حا س ³ 1
د(س) = حا س .............. (1)
د(س + هـ) = حا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
ت(هـ) = حا( س + هـ) – حا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
ت(هـ) = [حا( س + هـ) – حا س]
ت(هـ) = 2 حتا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
ت(هـ) = 2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
م(هـ) = [2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= حتا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
م(هـ) = حتا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
د¯(س) = حتاس
نتيجة : د(س) = حا[ق(س)] فإن : د¯(س) = حتا[ق(س)] × ق¯(س)
نتيجة : د(س) = حان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حان – 1ق(س)] × حتاق(س) × ق¯(س)
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(1) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = س2 حا س
الحــل :
مشتقة حاصل ضرب دالتين (س2 ، حاس) = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + مشتقة الدالة الأولى × الدالة الثانية
ص¯ = س2حتاس + 2 س حا س
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(2) :
إذا كانت د(س) = حا( 2 س + 3 ) فأوجد د¯(س) عند س = 43.5ه
الحــل :
د¯(س) = حتا(2 س + 3) × 2 مشتقة الدالة الدائرية × مشتقة الزاوية
د¯(س) = 2 حتا(2 س + 3) عند أي قيمة للمتغير س
د¯(43.5ه) = 2حتا( 2 × 43.5ه + 3) = 2 حتا90ه = 2 × 0 = 0
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(3) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ق(س) = 3 حا3(2 س2 + 3س +1)
الحـل :
ق¯(س) = 3 × 3[حا2(2 س2 + 3س +1)] × [حتا(2 س2 + 3س +1)] × ( 4 س + 3)
ق¯(س) = 9(4 س + 3)حا2(2 س2 + 3س +1)حتا(2 س2 + 3س +1)
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(4) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = حا2س حتا2س
الحـل :
يمكن حل المسألة على أساس حاصل ضرب دالتين ولكن لدينا قانون حا2س = 2 حاس حتاس وهذا يقودنا لجعل المسألة في جيب الزاوية
ص = 4 حا2س حتا2س ÷ 4
ص = ¼ حا2(2س)
ص¯ = ¼ × 2 حا2س × حتا2س × 2
ص¯ = حا2س × حتا2س
ص¯ = ½ حا4س
--------------------------------------------------------------------------------
ثانياً : حتاس
د(س) = حتا س .............. (1)
د(س + هـ) = حتا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ
وبالطرح (1) ، (2)
ت(هـ) = حتا( س + هـ) – حتا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) التغير في الدالة
وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على
ت(هـ) = [حتا( س + هـ) – حتا س]
ت(هـ) = –2 حا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)
ت(هـ) = –2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير
م(هـ) = [–2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= – حا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر
م(هـ) = – حا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر
د¯(س) = – حاس
نتيجة : د(س) = حتا[ق(س)] فإن : د¯(س) = – حا[ق(س)] × ق¯(س)
نتيجة : د(س) = حتان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حتان – 1ق(س)] × – حاق(س) × ق¯(س) وهذا ينطبق على باقي الدوال الدائرية
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(1) :
إذا كانت س حا ص + ص حتا س = 0 فأوجد ص¯
الحـل :
بإجراء الاشتقاق لحاصل ضرب دالتين على حديّ المعادلة
س حتا ص × ص¯ + 1× حا ص + ص × – حاس + ص¯ حتا س =0
ص¯( س حتا ص + حتا س) – ( ص حا س – حا ص ) = 0
ص¯ = ( ص حا س – حا ص ) ÷ ( س حتا ص + حتا س)
--------------------------------------------------------------------------------
مثال(2) :
إذا كانت د(س) = 2 حتا2س – 1 فأوجد د¯(45ه)
الحـل :
د¯(س) = 2 × 2 حتا س × (– حا س)
د¯(س) = –4 حتا س حا س يمكن وضعها بالصورة
د¯(س) = –2 حا2س حيث حا 2س = 2 حاس حتاس
د¯(45ه) = –2 حا2×45ه
د¯(45ه) = –2 حا90ه
د¯(45ه) = –2 × 1
د¯(45ه) = –2
حـل آخر
د(س) = حتا2س لأن حتا2س = حتا2س – حا2س = 2 حتا2س – 1 = 1 – 2 حا2س
د¯(س) = – حا2س × 2
د¯(س) = –2 حا2س
د¯(45ه) = –2 حا90ه = – 2 × 1 = – 2
--------------------------------------------------------------------------------
ثالثاً : طا س
د(س) = طا س يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابقة ولكن سنستخدم الطريقة التاللية
د(س) = حا س ÷ حتا س بالاشتقاق كقسمة دالتين
د¯(س) = [ حتا س × حتا س – حا س × – حا س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = [ حتا2س + حا2س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = 1÷ حتا2س
د¯(س) = قا2س
نتيجة : د(س) = طا[ق(س)] فإن : د¯(س) = قا2[ق(س)] × ق¯(س)
--------------------------------------------------------------------------------
رابعاً : طتا س
هنا يمكن استخدام الطريقة العادية باستخدام المبادئ الأولية أو طتاس = حتاس ÷ حاس أو طتاس = طا(½ ط – س) أو طتاس = 1 ÷ طاس
د(س) = طتا س
د(س) = طا(½ ط – س)
د¯(س) = قا2(½ ط – س) × – 1
د¯(س) = – قتا2س
--------------------------------------------------------------------------------
خامساً : قا س
د(س) = قا س
د(س) = 1 ÷ حتا س
د¯(س) = [ حتا س × 0 – 1 × – حا س ] ÷ حتا2س
د¯(س) = حا س ÷ حتا س جتا س
د¯(س) = قا س طا س
--------------------------------------------------------------------------------
سادساً : قتا س
د(س) = قتا س
د(س) = 1 ÷ حا س
د¯(س) = [ حا س × 0 – 1 × حتا س ] ÷ حا2س
د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
د¯(س) = – قتا س طتا س
أو
د(س) = قتا س
د(س) = 1 ÷ حاس = حا-1س
د¯(س) = – حا-2س × حتا س
د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س
د¯(س) = – قتا س طتا س
مع اطيب التمنيات للجميع بألفهم والفائدة
ولاتنسونا بالدعاء وشكرا