طلب:باستخدام التعريف أوجد مشتقة f(x)=x sin x

[أم العباية]

اهلين .. :h:


باستخدام تعريف المشتقة أوجد (f ' (x :


f(x) = x sin x


تكفون أبي الحل اليوم .. :s:

[أيمن ديان]

\huge\,f'(x)={\lim}\limits_{\Delta\,x \to 0}\frac{f(x+\Delta\,x)-f(x)}{\Delta\,x}

لنحسب الآن البسط فقط باعتبار :

\huge\Delta\,xمقدار صغير جدا ً

ويكون :

\huge\,cos\,\Delta\,x\,=1\\\,\\\,\\sin\Delta\,x\,= \Delta\,x

البسط =

\huge\,(x+\Delta\,x)sin(x+\Delta\,x)-x\,sin\,x\\\,\\\,\\=(x+\Delta\,x)(sin\,x\,cos\Delt a\,x+cos\,x\,sin\Delta\,x)-x\,sin\,x\\\,\\\,\\=(x+\Delta\,x)(sin\,x+cos\,x\;\ Delta\,x)-x\,sin\,x

بالفك والاختصار يبقى البسط =

\huge\,x\,cos\,x\;\Delta\,x\;+sin\,x\;\Delta\,x\;+ cos\,x\;(\Delta\,x)^2

الآن بقسمة البسط على المقام (دلتا x ) في النهاية

وجعل ( دلتا x ) تسعى للصفر نجد المقدار الاخير = 0

ويبقى المقدارين :

\huge\,x\,cos\,x\;\;+sin\,x

[ضحية الرياضيات]

f'(x)={lim(x+h) sin(x+h)-xsinx}÷h
من حساب المثلثات
sin (x+h)=sinx cosh+cosx sinh
التعويض في النهايه السابقه
y'={lim(x+h)[sinx cosh+cosxsinh] -xsinx}÷h
بإخذ -sinx عامل مشترك
y'={lim(-sinx)[-(x+h) cosh +x]+(x+h)cosxsinh }÷h
y'=lim{(-sinx)[-(x+h) cosh +x]}÷h+limxcosxsinh+h cosxsinh}÷h
y'=(-sinx)lim[-(x+h) cosh +x]÷h+xcosxlim{sinh }÷h+cosxlim{hsinh }÷h
y'=(-sinx)lim[-(xcosh +hcosh ) +x]÷h+xcosxlim{sinh }÷h+cosxlimsinh
y'=(-sinx)lim[x(1-cosh) -hcosh ) ]÷h+xcosxlim{sinh }÷h+cosxlimsinh
y'=(-sinx){lim[x(1-cosh)÷h ]-limcosh} +xcosxlim{sinh }÷h+cosxlimsinh
وحيث أن صفر=lim(1-cosh)÷h و limsinh÷h=1
إذن
y'=(-sinx){x(0)-(1)}+xcosx(1)+cosx(0)=sinx+xcosx
وهو المطلوب
ملاحظه جميع النهايات عندما h تؤول إالى الصفر
بالتوفيييييييييق