طلب:باستخدام التعريف أوجد مشتقة f(x)=x sin x

09-12-2007, 09:09 PM

اهلين ..

باستخدام تعريف المشتقة أوجد (f ' (x :

f(x) = x sin x

تكفون أبي الحل اليوم ..

09-12-2007, 10:16 PM

$\,f'(x)={\lim}\limits_{\Delta\,x \to 0}\frac{f(x+\Delta\,x)-f(x)}{\Delta\,x}$

لنحسب الآن البسط فقط باعتبار :

$\Delta\,x$ مقدار صغير جدا ً

ويكون :

$\,cos\,\Delta\,x\,=1\\\,\\\,\\sin\Delta\,x\,=\Delta\,x$

البسط =

$\,(x+\Delta\,x)sin(x+\Delta\,x)-x\,sin\,x\\\,\\\,\\=(x+\Delta\,x)(sin\,x\,cos\Delta\,x+cos\,x\,sin\Delta\,x)-x\,sin\,x\\\,\\\,\\=(x+\Delta\,x)(sin\,x+cos\,x\;\Delta\,x)-x\,sin\,x$

بالفك والاختصار يبقى البسط =

$\,x\,cos\,x\;\Delta\,x\;+sin\,x\;\Delta\,x\;+cos\,x\;(\Delta\,x)^2$

الآن بقسمة البسط على المقام (دلتا x ) في النهاية

وجعل ( دلتا x ) تسعى للصفر نجد المقدار الاخير = 0

ويبقى المقدارين :

$\,x\,cos\,x\;\;+sin\,x$

09-12-2007, 10:58 PM

f'(x)={lim(x+h) sin(x+h)-xsinx}÷h
من حساب المثلثات
sin (x+h)=sinx cosh+cosx sinh
التعويض في النهايه السابقه
y'={lim(x+h)[sinx cosh+cosxsinh] -xsinx}÷h
بإخذ -sinx عامل مشترك
y'={lim(-sinx)[-(x+h) cosh +x]+(x+h)cosxsinh }÷h
y'=lim{(-sinx)[-(x+h) cosh +x]}÷h+limxcosxsinh+h cosxsinh}÷h
y'=(-sinx)lim[-(x+h) cosh +x]÷h+xcosxlim{sinh }÷h+cosxlim{hsinh }÷h
y'=(-sinx)lim[-(xcosh +hcosh ) +x]÷h+xcosxlim{sinh }÷h+cosxlimsinh
y'=(-sinx)lim[x(1-cosh) -hcosh ) ]÷h+xcosxlim{sinh }÷h+cosxlimsinh
y'=(-sinx){lim[x(1-cosh)÷h ]-limcosh} +xcosxlim{sinh }÷h+cosxlimsinh
وحيث أن صفر=lim(1-cosh)÷h و limsinh÷h=1
إذن
y'=(-sinx){x(0)-(1)}+xcosx(1)+cosx(0)=sinx+xcosx
وهو المطلوب
ملاحظه جميع النهايات عندما h تؤول إالى الصفر
بالتوفيييييييييق


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة