أوجد المجموع: سيجما من 1 إلى 999

[laila245]

أوجد قيمة المجموع :

\LARGE\sum\limits_{k = 1}^{999} {\sqrt {1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{(k + 1)^2 }}} }

[أيمن ديان]

وصلت لمنتصف الطريق :

فهل يستطيع أحد منكم الاكمال

\huge\sum_{k=1}^{999}\frac{k(k+1)+1}{k(k+1)}=999+\ sum_{k=1}^{999}\frac{1}{k(k+1)}

[prime]

بالكسور الجزئية :
1/(ن+1)ن = 1/ن - 1/(ن+1) سترى عند التعويض كل الحدود سيلغي بعضها الاخر الا الحد الاول والاخير وينتهي الامر بالمجموع :
999 +( 1 - 1/1000 ) = (10^6 -1 ) / 1000

[أيمن ديان]

حقا ً التعاون شيء رائع

شكرا ً أخي الكريم على حلك الرائع

وسأكتبه باللاتيكس :

\huge\,=999+\sum_{k=1}^{999}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=999+(1-\frac{1}{1000})\\\,\\\,\\=\frac{999999}{1000}=999, 999

[laila245]

ماشاء الله عليك أستاذ أيمن ... دائماً متميز

وشكراً للأخ prime

وهذا توضيح للخطوة الأولى :

\LARGE 1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{(k + 1)^2 }} = \frac{{k^2 (k + 1)^2 + (k + 1)^2 + k^2 }}{{k^2 (k + 1)^2 }}

\LARGE = \frac{{k^2 (k + 1)^2 + 2k^2 + 2k + 1}}{{k^2 (k + 1)^2 }} = \frac{{(k(k + 1))^2 + 2k(k + 1)^2 + 1}}{{(k(k + 1))^2 }}

\LARGE = \frac{{(k(k + 1) + 1)^2 }}{{(k(k + 1))^2 }} = \left( {\frac{{k(k + 1) + 1}}{{k(k + 1)}}} \right)^2

\LARGE \Rightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{(k + 1)^2 }}} = \frac{{k(k + 1) + 1}}{{k(k + 1)}}