السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته .
في البداية أود أصالة عن نفسي ونيابة عن أعضاء لجنة الحكم أن أشكر الإخوة الأعضاء الذين حاولوا جاهدين حل المسألة وأنـوَه بالحماس العالي و المثابرة الحثيثة للإخوة :
محمد الزواوي - محمود القالع - أشرف محمد - حسام -الفارس الأول و happy1967 .
إليكم إخواني حل السؤال السادس من المسابقة .
فكرة الحل كماأشرت سابقا هي استعمال هذه المتفاوتة المزدزجة :

طبعا لكل عدد صحيح غير منعدم x .
بالنسبة لإثباتها يكفي نشر وتحويل لنجد متفاوتيين هما :
وهي صحيحة لأن المميز سالب ومعامل الحد الأكبر درجة موجب قطعا
أما المتفاوتة الأخرى فهي تكافئ بعد التحويل : وهذه ايضا صحيحة .
فكرة الحل كما أشرت سابقا هي تأطير المقدار بين مربعين كاملين .
فإذا كان العدد صحيحا وهذا يتحقق إذا كان العدد زوجيا فإن المقدار سيكون محصورا بين مربيعين كاملين متتاليين وطبعا هذا مستحيل .
إذن نستبعد الأعداد الزوجية .
إذا كان العدد x فرديا فإن العدد الصحيح الوحيد المحصور بين و هو العدد لإن العددين غير صحيحيين وفرقهما الواحد .
إذن يسكون لدينا حتما:

وبعد النشر نصل إلى المعادلة البسيطة : وبالتالي إلى الحلول طبعا الفردية : x=-1 وx=3
وفي الأخير لاننسى أننا توصلنا إلى هذه الحلول انطلاقا من متفاوتة صحيحة فقط إذا كان العدد x غير منعدم .
وطبعا إذا كان x منعدما فإن المقدار يكون مربعا كاملا بالتعويض المباشر.
خلاصة الأعداد الصحيحة التي تجعل المقدار مربعا كاملا هي x=0 ;-1 ; 3 .
تحياتي للجميع .