السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته .

هذا التمرين من التمارين المقترحة في مسابقة أولمبياد الرياضيات بالمغرب

ABCD مربع و H , G , F , E منتصفات أضلاعه .

أحسب مساحة الرباعي IJKL

يالتوفيق للجميع .

 

 

مساحة الرباعي IJKL =


مساحة المربع ABCD

×

0.03349364905





أرجو أن ينال الحل إعجابك ....

 

 

السلام عليكم ورحمة الله :
اليك الحل

 

 

فكرتك أخي خالد في رسم المثلثين AMB و DNC ممتازة لكنك أخطأت في أول استنتاج عندما قلت أن مساحة المستطيل ARCT تساوي نصف مساحة المتوازي الأضلاع AMCN .
والخطأ مرده أنك اعتبرت R منتصف [AM] و T منتصف [NC] وهذا غير صحيح ويمكن أن تكتشف ذلك إذا رسمت الشكل جيدا ...
حاول مرة أخرى فلقد كنت قريبا جدا من الحل الصحيح .
تحياتي لك .

 

 

الاخ عمر السلام عليكم
اعتبر ان كل الزوايا التى ساذكرها بحرف واحد حادة
ساعتبر ان المربع ا ب ج د بدل ABCD لانى للاسف لا اجيد الرسم
المنتصفات ه و س ص بدل من FG H E
رءوس المربع الاصغر او باعتبار ما سيكون ع ف ل ق بدل من J K L I
بالترتيب

المثلث اس د يطابق ا ب ص يطابق و ج د 00000
ب ا س = اس د بالتبادل
و د ج = س ا د من التطابق
ب ا س + س ا د =90
ا س د +ودس =90
اذن المثلث س د ل قائم D L H
اد = 2 س
من اقليدس وقيثاغو
ا س = س د جذر 5
ل د =2 على جذر 5
اذن ل س=1 على جذر 5
ا ل =4 على جذر 5
المثلثان س د ل و ا س د مشتركان في الراس اذن النسبة بين المساحات
1 الى 5
ولكن اس د = ربع المربع
اذن ل س د=1 على 20
اذن مساحة كل من اشباه المنحرفات =1\4 - 1\20 -1\20 =3\20
اذن المربع -(4 في 1\20 +4 في 4 في 3\20)المربع
اذن مساحة الشكل =20\20 -16\20 =4\20=
خمس المربع
هذا جهدى وعذرا للغه الضعيفة واشكرك

 

 

حدث خطا اثناء الكتابة
السطر الذي يسبق كلمة اقليدس
ا د = 2 س د
ايضا السطر الرابع من اسفل داخل القوس 4 فى 4 فى 3\20
والصواب 4 واحدة
اعتقد الحل غير واضح فلو تكرم اللى بالى باله بالرسم
اكون شاكر

 

 

لم أستطع تتبع حلك أخ أشرف بشكل جيد بدون رسم توضيحي ...لكن الشئ الذي أؤكده هو أن النتيجة النهائية التي توصلت إليها صحيحة .
أي أن مساحة الشكل IJKL تساوي خمس مساحة المربع ABCD .
ربما تفضل بعض الإخوة مشكورا ورسم لنا الشكل ...

 

 

المثلثات الاربعة متطابقة ADH ,ABE, FBC,GCD
وكل منها مساحته=الربع

من السهل اثبات ان الزوايا قائمة L,K,I,J
لان اثبات ان كل من AH,DG
متعامدان سهل
الضلع AD=2DH
من فيثاغورث واقلبدس يمكن ايجاد النسب بين AL,LH,AH

1ذن مساحة المثلثA D H =5 D L H
DLH=1\20
اذن شبه المنحرفE I L D
=3\20
من المربع طبعا
اذن الشكل الداخلى = 20\20 - اربع مثلثات صغيره واربع اشباه منحرف
=1\5

لكن اخى العزيز ما رايك انى اثبت هذا التمرين ايضا بالنسبة لمتوازى الاضلاع
لذلك سارد الكرة الى ملعبك واتفضل فكر في الجديد
اوعى تزعل بهزر بس بالمصري

ولك تحياتى عزيزى الغالى

 

 

لقد تتبعت حلك هذه المرة وتبين لي أنه سليم رغم أني أرى أنه ليس هناك داع لحساب مساحة شبه المنحرف مادام أنك أثبت أن الشكل المراد حساب مساحيته مربع !!!

اقتباس :

كاتب الرسالة الأصلية : اشرف محمد لكن اخى العزيز ما رايك انى اثبت هذا التمرين ايضا بالنسبة لمتوازى الاضلاع لذلك سارد الكرة الى ملعبك واتفضل فكر في الجديد

في الحقيقة أنا أخدت المسألة من تمرين أولمبياد قديم عندنا في المغرب كما هو وطرحته هنا ولم أفكر في أن النتيجة يمكن أن تعمم إلى المتوازي الأضلاع ...
على كل الحل بسيط جدا ويعتمد على فكرة إنشاء مثلثات خارج المتوازي الأضلاع كما في الشكل ثم ملاحضة أن مساحة المثلث AMF=تساوي مساحة FGB وأيضا مساحة AEI تساوي مساحة EQD ومساحة DLH تساوي مساحة HPC ومساحة KCG تساوي مساحة GNB .
وهكذا يمكن تحويل المتوازي الأضلاع ABCD إلى شكل مكون من خمسة متوازيات أضلاع لها نفس المساحة كما هو مبين في الشكل وبالتالي مساحة المتوازي الأضلاع IJKL تساوي خمس مساحة المتوازي الضلاع ABCD .

الآن أرد إليك الكرة إلى ملعبك وأنتظر طريقتك حلك للمسألة في هذه الحالة ...

تحياتي للجميع .

 

 

اقتباس :

كاتب الرسالة الأصلية : اشرف محمد لكن اخى العزيز ما رايك انى اثبت هذا التمرين ايضا بالنسبة لمتوازى الاضلاع لذلك سارد الكرة الى ملعبك واتفضل فكر في الجديد

مازلت أنتظر حلك الذي تحدثت عنه في إثبات التمرين بالنسبة لمتوازي الأضلاع ...

الكرة مازلت في ملعبك .