ببساطة
افترض أقليدس أن العدد ( أ ) هو أكبر عدد أولى
إذن حاصل الضرب : ( 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... × أ ) يقبل القسمة على أى عدد أولى ،
وبفرض أن العدد الطبيعى ب = ( 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... × أ ) + 1 معنى ذلك أن العدد ب > العدد أ
ونلاحظ أن العدد ب لا يقبل القسمة على أى عدد أولى من 2 حتى أ
وهنا لدينا احتمالان :
أولهما أن العدد ب هو عدد أولى أكبر من أ
ثانيهما أن العدد ب يقبل القسمة على عدد أولى أكبر من أ
والاحتمالان يناقضان الفرض بأن ( أ ) هو أكبر عدد أولى
إذن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية