منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

15-06-2008, 03:01 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

اهلا اخي محمد ، لدي متفاوتة اعم من التانية و هي من اولمبياد بلغاريا و ادا برهنا عنها ستوصلنا بسهولة الى المتفاوتة المطلوبة ، المتفاوتة كالتالي ، $a$ و $b$ و $c$ اعداد حقيقية موجبة قطعا بين ان :

$x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \: \frac{(x+y+z)^3}{4}$

لدينا حسب متفاوتة schur :

$x^3+y^3+z^3+3abc \: \geq \: x^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)$

و بديهي ان :
$x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \:x^3+y^3+z^3+3xyz$

و منه :

$x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \: x^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)$

$3(x^3+y^3+z^3)+18xyz \: \geq \: 3( \: ^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)\: )$

$\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3)+24xyz \: \geq \: x^3+y^3+z^3+6xyz+ 3( \: ^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)\: )$

الطرف الايمن يساوي المتطابقة المعروفة $(a+b+c)^3$

$\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3+6xyz) \: \geq \: (x+y+z)^3$

ومنه نجد المتفاوتة المطلوبة :

$x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \: \frac{(x+y+z)^3}{4}$

في حالة متفاوتتك نعوض بالشرط فنجد المطلوب.