منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

18-06-2008, 07:32 PM

متفاوتة Cauchy schwartz

ليكن $a_1$ و $a_2$ و ...و $a_n$ و $b_1$ و $b_2$ و ...و $b_n$ اعداد حقيقية موجبة قطعا :

$(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+....+b_n^2) \geq \: (a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)^2$

تطبيقات لمتفاوتة Cauchy schwartz :

مثال اول :

بوضع $a_i=\sqrt{x_i}$ و $b_i=\frac{1}{\sqrt{x_i}}$ نجد المتفاوتة الشهيرة :

$(x_1\: + \:x_2\: +\:...\:+ \:x_n)(\frac{1}{x_1}\:+\:\frac{1}{x_2}\:+\:...\:+\:\frac{1}{x_n}) \geq \: n^2$

مثال ثاني :

بوضع $a_1=\frac{x}{\sqrt{y+z}}$ و $a_2=\frac{y}{\sqrt{z+x}}$ و $a_3=\frac{z}{\sqrt{x+y}}$ و $b_1=\sqrt{y+z}$ و $b_2=\sqrt{z+x}$ و $b_3=\sqrt{x+y}$ نجد هده المتفاوتة الجميلة :

$( \: \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\: )( \:2(x+y+z)\: ) \:\geq \: (x+y+z)^2$

$\blue \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \: \: \geq \:\frac{x+y+z}{2}$