منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

25-05-2009, 02:17 PM

يمكن فرض أن $a=\frac xy, b=\frac yz, c= \frac zx$ (لأن حاصل الضرب = 1)، الآن نعلم أن:

$\sqrt{x(x+2y+2z)} \le x+y+z$

بقلب الطرفين:

$\frac 1{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \frac 1{x+y+z}$

بالضرب في $x$ نجد:

$\frac x{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \frac x{x+y+z}$

هذا يعني أن:

$\sum_{cyc}\frac x{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \sum_{cyc}\frac x{x+y+z}=1$

لكن لاحظ أن هذه العبارة تكافئ:

$\sum_{cyc} \frac 1{\sqrt{b + \frac 1a + \frac 12}}\ge \sqrt 2$

كما هو متوقع

.