السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إذا كانت د(س) على الصورة
د(س) =أ<sub>ن</sub> س <sup>ن</sup> +<sub>أن-1 </sub>س <sup>ن-1</sup>+ ..........+أ<sub>0</sub> معاملاتها أعداد صحيحة
يمكن إثبات ان
د(س<sub>1</sub>)×د(س<sub>2</sub>) = أ0×د(س<sub>1</sub>+س<sub>2</sub>) + س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> × م .... حيث م عدد صحيح
هذا إثبات سريع لصحة تطبيق القانون السابق على الحالة المعطاة
د(2) = أ<sub>ن</sub> 2<sup>ن</sup> + أ <sub>ن-1</sub> 2 <sup>ن-1</sup> + أ <sub>ن-2</sub> 2 <sup>ن-2 </sup>+ ........ + 4 أ <sub>2</sub> + 2 أ<sub>1</sub>+ أ<sub>0</sub>
د(5) = أ<sub>ن</sub> 5<sup>ن</sup> + أ <sub>ن-1</sub> 5 <sup>ن-1</sup> + أ <sub>ن-2</sub>5 <sup>ن-2 </sup>+ ........ + 25 أ <sub>5</sub> + 2 أ<sub>1</sub>+ أ<sub>0</sub>
الكتابة صعبة وبطيئة جداً بإستخدام الجدود العليا والسقلى بالمنتدى وممكن أخلص البرهان على الفجر ولذلك أقدم برهان بسيط فى حالة خاصة للدالة التربيعية
د( س ) = أ س2 + ب س + جـ
د (هـ ) = أ هـ 2 + ب هـ + جـ
د( ن ) = أ ن2 + ب ن + جـ
د( هـ ) × د(ن) = أ2 ( هـ ن ) 2 + أ ب هـ ن ( هـ + ن) + ب2 هـ ن
+ أ جـ ( هـ2 + ن2) + ب جـ ( هـ + ن ) + جـ2
د( هـ ) × د(ن) = هـ ن [ أ2 هـ ن + أ ب ( هـ + ن) + ب2 ]
+ جـ [ أ ( هـ2 + ن2) + ب ( هـ + ن ) + جـ]
د( هـ ) × د(ن) = هـ ن [ أ2 هـ ن + أ ب ( هـ + ن) + ب2 ]
+ جـ [ أ ( هـ2 +2 هـ ن + ن2) + ب ( هـ + ن ) + جـ] - 2 أ جـ هـ ن
د( هـ ) × د(ن) = هـ ن [ أ2 هـ ن + أ ب ( هـ + ن) + ب2 - 2 أ جـ]
+ جـ [ د ( هـ + ن) ]
د( هـ ) × د(ن) = جـ [ د ( هـ + ن) ] + هـ ن م حيث م = [ أ2 هـ ن + أ ب ( هـ + ن) + ب2 - 2 أ جـ]
وبوضع د (هـ) = ن ك & د(ن) = هـ ل
هـ ن ك ل = جـ × د ( هـ + ن) + هـ ن م
جـ × د( هـ + ن) = هـ ن ( ك ل - م )
جـ × د(7) = 10 ( ك ل - م )