منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

27-07-2009, 07:56 PM

أحيانا عندما نرى متفاوتة تحتوي على مضروب، فإننا نستخدم عادة نظرية الأوساط، و قليل من التلاعب بالأعداد الطبيعية، و توجد مثل هذه المسائل في المنتدى:

المسألة متحققة عند 1، نبرهنها عندما تكون أكبر من 1

$n! + n = (n!-1) \times 1 + (n+1) \ge n!\sqrt[n!]{\underbrace{1\cdot 1\cdot 1 \cdots 1}_{n-1}\cdot (n+1)}$

وأيضا:

$n!+n \ge n\sqrt[n]{(n!+1)\cdot \underbrace{1\cdots 1}_{n-1}}$

فيكون:

$\frac {1}{\sqrt [n!]{n + 1}} + \frac {1}{\sqrt [n]{n! + 1}}\geq\frac {n!}{n! + n} + \frac {n}{n! + n} = 1$

ولدينا أيضا:

$n^{n-1}=\underbrace{n\cdot n\cdot n \cdots n}_{n-1} \ge 2\cdot 3\cdots n = n!$

فيكون:

$\frac {n!}{n^{n-1}} \le \frac{n!}{n!} = 1$

من النتيجتين، نجد المطلوب.