منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

02-03-2009, 11:41 PM

وعليكم السلام ورحمة الله تعالى وبركاته

شكرا لك استاذ محيي علي هذا التمرين المتميز

وفي انتظار حل ابسط

اليكم اخوتى هذا الحل الطويل

المقدار الاول يمكن كتابته على صورة مجموع

$\frac{2}{x^2-1}+..+\frac{20}{x^2-100}=\\\sum_{n=1}^{10}\frac{2n}{x^2-n^2}=2\sum_{n=1}^{10}\frac{n}{x^2-n^2}$

نحاول تحويل المقدار الى صورة مجموع كسرين

$\frac{n}{x^2-n^2}=\frac{n}{(x-n)(x+n)}$

$\frac{n}{(x-n)(x+n)}=\frac{a}{x-n}+\frac{b}{x+n}$

$\frac{a}{x-n}+\frac{b}{x+n}=\frac{a(x+n)+b(x-n)}{(x-n)(x+n)}$

بمقارنة البسطين

$ax+an+bx-bn=n\\{}\\ax+bx=0,an-bn=n\\{}\\a+b=0\\a-b=1\\{}\\a=\frac{1}{2},b=\frac{-1}{2}$

$\frac{a}{x-n}+\frac{b}{x+n}=\frac{\frac{1}{2}}{x-n}+\frac{\frac{-1}{2}}{x+n}$

$2\sum_{n=1}^{10}\frac{n}{x^2-n^2}=2\sum_{n=1}^{10}(\frac{\frac{1}{2}}{x-n}+\frac{\frac{-1}{2}}{x+n})\\{}\\\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+n})=$

بنفس الطريقة يمكن التعبير عن المجموع الثانى

$11k\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{(x-n)(x+11-n)}$

$\frac{1}{(x-n)(x+11-n)}=\frac{c}{x-n}+\frac{d}{x+11-n}$

ويمكن ايجاد الثوابت

$c=\frac{1}{11},d=\frac{-1}{11}$

$11k\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{(x-n)(x+11-n)}=11k\sum_{n=1}^{10}(\frac{\frac{1}{11}}{x-n}+\frac{\frac{-1}{11}}{x+11-n})$

$=k\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+11-n})$

ولكن من ناتج المجموع الاول نقارن المجموعين

$\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+n})=k\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+11-n})$

$(k-1)\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{x-n}=\sum_{n=1}^{10}\frac{-1}{x+n}+\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{x+11-n}$

والطرف الايمن واضح انه =0 لان

قيمة ن من 1 الى 10 والحدود بالتعويض جميعها يلاشى الاخر في

هذا الطرف

من ذلك
$k-1=0\\{}\\k=1$