منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

13-02-2009, 05:58 PM

المسألة 1:
أظن أن المطلوب هو إثبات أن $f(n)$ عدد زوجي.

$f(n) = n^3 - n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)$

بالتالي فإن $f(n)$ هي حاصل ضرب 3 أعداد متتالية أحدها يقبل القسمة على 2، بالتالي فإن $f(n)$ زوجي دائما.

المسألة 3:

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n f(k) &=& \sum_{k=1}^n (k^3-k)\\ &=& \sum_{k=1}^n k^3 - \sum_{k=1}^n k \\ &=& \frac 14 n^2(n+1)^2 - \frac 12 n(n+1)\\ &=& \frac{1}{4}n(n+1)\left[n(n+1)-2\right] \\&=& \frac{n(n+1)(n-1)(n+2)}{4} \end{eqnarray}$