منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

12-05-2009, 07:42 AM

صدقت ، هي سهلة

لدينا أن الحد العام هو $( \forall n \ge 1 )$

$h_n = 4 \cdot 10^n \cdot \left( \frac{10^n - 1}{9} \right) + 8 \cdot 10 \cdot \left( \frac{10^{n-1} -1}{9} \right) + 9$

$= \frac{1}{9} \cdot \left( 4 \cdot 10^{2n} - 4\cdot 10^n+ 8 \cdot 10^n - 80 + 81 \right)$

$= \frac{1}{9} \cdot \left( 4 \cdot 10^{2n} + 4 \cdot 10^n + 1 \right) = \left( \frac{2 \cdot 10^n + 1}{3} \right)^2$

وهذا الكسر الأخير عبارة عن عدد صحيح لأن

$2\cdot10^n + 1 \equiv (-1) \cdot 1^n + 1 \equiv 0 \pmod 3$