نفرض الحد الرابع س و نفرض الحد الخامس ص
س+ص= 13
س×ص=40
بالحل المشترك نجد
س^2 -13 +40 = 0
إما س=5 أو س=8
و منه ص=8 أوص= 5 الحل الصحيح الرابع 8
الخامس = 5
و منه نوجد د 5-8= -3 الأساس

المجموع 12 حد = (12÷2) [2أ+11×د]
=6 ×[2(أ +4د) + 3د]
= 6 ×(2× الحد الخامس + 3 ×(-3)] = 6

طرقة أخرى
الحد الرابع = أ + 3د
الحد الخامس = أ +4د
2أ + 7د = 13
(أ +3د) ( أ +4د) =40
نوجد أ = 0.5( 13-7د)
نعوض في (2)

(0.5(13 -7د)+3د) (0.5(13-7د)+4د)=40

0.5(13-د)× 0.5(13+د) =40
169 -د^2= 160

د^2=9
د=3 مرفوض
أو د=-3 مقبول

أ= 0.5(13 -7× (-3) )= 17

و نتابع في حساب المجموع

و الله أعلم