منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة - عددان مجموعهما 1 وحاصل ضربهما 1 أوجد مجموع :

15-08-2007, 09:38 PM

ظريفة

$\bf x+y = 1$
$\bf xy = 1$

$\bf x^3 + y^3 = ?$

$\bf x^3 + y^3 = (x+y )(x^2 -xy + y^2 )$

لدينا قيمة x+y و xy ، ينقصنا قيمة x² + y²

$\bf(x+y)^2= x^2 + y^2 + 2xy$

$\bf 1 = x^2 + y^2 + 2(1)$

$\bf x^2 + y^2 = - 1$

$\bf x^3 + y^3 = (x+y )(x^2 -xy + y^2 )$

$\bf x^3 + y^3 = (1 )(-1-1 ) =-2$

طريقة اخرى ، نوجد العددين :

بما ان مجموعهما و حاصل ضربهما معطيان ، يكونان عبارة عن جذور المعادلة :

z² - z +1 = 0

إذا :

الآن بدلا من إيجاد x³ + y³

نعوّض في $\bf x^3 + y^3 = (x+y )(x^2 -xy + y^2 )$

أو نحوّل العددين إلى الشكل المثلثي :

أي عدد تخيلي a + ib ، يمكن كتابته على الشكل المثلثي

(r , θ)

حيث :

الآن :

بالنسبة لـ y :

بالنسبة لـ x :

حسب قاعدة ديموفوار :

x³ + y³ =