منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

11-06-2008, 03:20 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
لقد استطعت ايجاد برهنة الطرف الايسر فقط.
نعلم ان $xyz \geq (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)$

بما ان $x+y+z=1$ فان :
$xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

بعد النشر و الحساب نجد :
$xyz \geq 1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz$

$\frac{xyz+1}{4} \geq xy+yz+zx-2xyz$ العلاقة ${\star}$

و لدينا حسب متفاوتة AM-GM :
$(x+y+z)^3 \geq 27xyz$

$1\geq 27xyz$

$28\geq 27(xyz+1)$

$7\times 4 \geq 27(xyz+1)$

$\frac{7}{27}\geq \frac{xyz+1}{4}$ العلاقة $\nabla$

من ${\star}$ و $\nabla$ نجد ان :

$\frac{7}{27}\geq xy+yz+zx-2xyz$