منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

09-04-2009, 08:35 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]
حل الطرف التاني

بما ان $x+y+z=1$ فانه يمكننا ان نفترض ان

$x=\frac{a}{a+b+c}$ و $y=\frac{b}{a+b+c}$ و $z=\frac{c}{a+b+c}$

لنبرهن ان

$xy+yz+zx -2xyz \geq 0$

المتفاوتة تصبح

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} -\frac{2abc}{(a+b+c)^3} \geq 0$

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} \geq \frac{2abc}{(a+b+c)^3}$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 2abc$

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2$

و نعلم حسب Cauchy schwartz ان

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9 \geq 2$

و منه المتفاوتة صحيحة

يكفي ملاحظة أن أحد الأعداد يجب أن يكون أصغر من ${1 \over 2}$ مثلا العدد $z$

وعليه : $xy+yz+zx-2xyz=xy(1-2z)+xz+yz\geq 0$