نظرية 2.2

إذا كان د = ( ب ، جـ ) فإنه يوجد أعداد صحيحة س و ص بحيث

د = ب س + جـ ص

البرهان : سيوضع عند الطلب أو بعد حل التمارين

مثال : د = ( 3 ، 7 ) = 1

1 = 3 × 19 + 7 × - 8 ( 57 - 56 = 1 )

تحذير

العكس غير صحيح : إذا كان د = ب س + جـ ص فذلك لا يعني أن د هو

القاسم المشترك الأكبر ( ب ، جـ )

مثال : 2 = 3 × - 1 + 5 × 1

و لكن ( 3 ، 5 ) = 1 و ليس 2

نتيجة

القاسم المشترك الاكبر هو أصغر قيمة موجبة لـ ب س + جـ ص ، س و ص

أعداد صحيحة

نظرية 2.3

( م ب ، م جـ ) = م ( ب ، جـ )

البرهان

باستخدام النتيجة أعلاه

( م ب ، م جـ ) = أصغر قيمة موجبة لـ م ب س + م جـ ص

= أصغر قيمة موجبة لـ م( ب س + جـ ص )

= م ( ب ، جـ )

نظرية 2.4

إذا كان ب | ك و جـ | ك ( ك > صفر ) فإن

( ب / ك ، جـ / ك ) = (1 / ك) ( ب ، جـ )

البرهان

مباشرة من النظرية 2.3 بوضع م = 1 / ك

نظرية 2.5

إذا كان ( ب ، م ) = ( جـ ، م ) = 1 فإن ( ب جـ ، م ) = 1

البرهان

باستخدام النظرية 2.2 ، يوجد أعداد صحيحة س و ص بحيث

1 = ب س + م ص و بالمثل أيضا يوجد س1 و ص1 بحيث

1 = جـ س1 + م ص1 و منهما

( ب س )(جـ س1 ) = ( 1 - م ص )(1 - م ص1 )

ب جـ س س1 = 1 - م ( ص + ص1 - م ص ص1 )

ب جـ س س1 = 1 - م ك

ب جـ س س1 + م ك = 1

من النظرية 1.1 أي قاسم مشترك بين ب جـ و م هو قاسم للـ 1

و عليه ( ب جـ ، م ) = 1

خوارزمية إقليدس ( Euclidean Algorithm )

ب و أ عددان صحيحان ( أ > صفر ) بإجراء خوارزمية القسمة بشكل متكرر ،

نحصل على سلسلة من المعادلات

ب = أ ك1 + ر 1 ، 0 < ر1 < أ ( نقسم ك1 على ر1 ) :

ك1 = ر1 ك2 + ر2 ، 0 < ر2 < ر1 و هكذا

مثال

نقسم 99 ÷ 4

99 = 24 × 4 + 3 ( الباقي = 3 ) ، الآن نقسم 4 ÷ 3

4 = 1 × 3 + 1 ( الباقي = 1 ) ، الآن نقسم 3 ÷ 1

3 = 1 × 3 + 0 ( الباقي = 0 )

القاسم المشترك الاكبر هو آخر باقي غير مساو للصفر أي الواحد في هذه

الحالة : د = 1

نتيجة

يمكننا إيجاد حل للمعادلة ( ليس كل الحلول ) 99 س + 4 ص = 1

نعبّر عن القاسم المشترك الاكبر بالنسبة للعددين ، نفعل ذلك

بالتعويض بشكل تراجعي في عمليات القسمة اعلاه :

من الثانية : 1 = 4 - 3 × 1 ------------------(*)

من الأولى : 3 = 99 - 4 × 24

نعوض قيمة الـ 3 في (*) :

1 = 4 - ( 99 - 4 × 24 )

1 = 4 - 99 + 4 × 24

1 = 4(25) + 99 (-1)

س = - 1 ، ص = 25

تعريف 2.2 - المضاعف المشترك الأصغر

يكون العدد الصحيح د ≠ صفر مضاعفا العدد أ إذا كان د | أ

مثال : 36 مضاعفا للعدد 12 لأن 36 | 12

مجموعة مضاعفات العدد أ هي المجموعة التي تحتوي على جميع مضاعفات

العدد أ ، بمعنى آخر جميع الاعداد الصحيحة د ( الغير مساوية للصفر) و التي

تحقق د | أ . نرمز لهذه المجموعة بالرمز م _أ ( M_a )

مثال : م₈ = {0 ، ± 8 ، ± 16 ، ± 32، ....... }

{ 0, ± 5 , ± 10 , ± 15 , ±20 , ± 25 , ....... } = M₅

يكون العدد الصحيح أ مضاعفا مشتركا ( Common Multiple ) لـ ب و جـ

إذا كان أ | ب و أ | جـ

مثال : 15 مضاعف مشترك ( Common Multiple ) لـ 3 و 5

أقل مضاعف مشترك موجب ، نطلق عليه المضاعف المشترك الأصغر ( Least Common Multiple )

[ ب ، جـ ]

بالمثل ، المضاعف المشترك الأكبر للأعداد أ ، ب ، جـ ، ......، ي

نرمز له :[ أ ، ب ، جـ ، .......، ي]

نظرية 2.5

1) [م ب ، م جـ ] = م [ب ، جـ ] حيث م > صفر

2) [ب ، جـ ] × ( ب ، جـ ) = | ب × جـ |

البرهان : عند الطلب أو بعد حل التمارين