منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

08-06-2008, 07:35 AM

السلام عليكم

$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k+ k\sqrt {k + 1} }}}\times \frac{{(k + 1)\sqrt k- k\sqrt {k + 1} }}{{(k + 1)\sqrt k- k\sqrt {k + 1} }}$

$= \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{(k + 1)\sqrt k- k\sqrt {k + 1} }}{{k(k + 1)^2- k^2 (k + 1)}}}$

$= \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{(k + 1)\sqrt k- k\sqrt {k + 1} }}{{k(k + 1)}}}$

$= \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\sqrt k }}{k} - \frac{{\sqrt {k + 1} }}{{k + 1}}} \right)}$

$= 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 4 }}{4} +\cdots- \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{n + 1}}$

$= 1 - \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{n + 1}}$