منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة - تمرين: بين أنه إذا كان a^n -1 أوليا فان a=2 و n أولي.

22-03-2009, 11:03 PM

واضح كما تفضل الأخ الكريم mathson أن $a=2$

بالنسبة لإثبات أن $n$ عدد أولي يمكن فعل الآتي :

نفترض أن $n$ غير أولي أي يوجد عددين صحيحين طبيعين $p$ و $q$ بحيث $p \ge 2\$ و $p \ge 2\$ و $n = pq$ .

${2^n} - 1 = {\left( {{2^p}} \right)^q} - 1 = ({2^p} - 1)({({2^p})^{q - 1}} + {({2^p})^{q - 2}} + ... + {2^p} + 1)$

وبما أن $p \ge 2$ فإن ${2^p} - 1 \ge 3$

وحيث أن $q \ge 2$ فإن : ${({2^p})^{q - 1}} + {({2^p})^{q - 2}} + ... + {2^p} + 1 \ge 2$

وهذا يعني ${2^n} - 1$ أن ليس أوليا في تناقض مع الإفتراض ${2^n} - 1$ أولي .