طلب : اثبات أن جذر2 عدد غير كسري

16-09-2007, 09:44 PM

السلام عليكم ...

لو سمحتم انا اول مره اسجل بمنتدى لكن اتمنى اتمنى تساعدوني وماترودني بطلبي
بحكم اني اول سنه جامعه ابي احد يثبت لي التالي :

اثبتي ان جذر2 عدد غير كسري ؟؟
ارجوووووووووكم ساعدوني الليله

16-09-2007, 09:57 PM

سلام أختي اليك الحل
افرض أن جذر 2 عدد نسبي و أن أ،ب عددان صحيحان ، القاسم المشترك الأكبر بينهما 1 حيث
جذر 2 =أ/ب،ب لا تساوي صفر
اذن 2 = أ تربيع/ب تربيع(وذلك بتربيع الطرفين)......(1)
اذن أ تربيع= 2 * ب تربيع وبالتالي فان أ تربيع عدد زوجي
اذن أ عدد زوجي لأن مربعه عدد زوجي
ولأن أ عدد زوجي فان أ=2ن حيث ن عدد صحيح
و بالتعويض في (1) ينتج أن
2=(4ن تربيع/ب تربيع) وبالتالي فان ب تربيع = 2ن تربيع اذب ب تربيع عدد زوجي ، وبما أن أوب عددان زوجيان اذن يوجد بينهما قاسم مشترك غير 1 وهو 2 وهذا يناقض الفرض اذن جذر 2 عدد غير كسري(غير نسبي).
أرجو أن أكون قد أفدتك
سلام

16-09-2007, 10:18 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة zozo [ مشاهدة المشاركة ]

سلام أختي اليك الحل
افرض أن جذر 2 عدد نسبي و أن أ،ب عددان صحيحان ، القاسم المشترك الأكبر بينهما 1 حيث
جذر 2 =أ/ب،ب لا تساوي صفر
اذن 2 = أ تربيع/ب تربيع(وذلك بتربيع الطرفين)......(1)
اذن أ تربيع= 2 * ب تربيع وبالتالي فان أ تربيع عدد زوجي
اذن أ عدد زوجي لأن مربعه عدد زوجي
ولأن أ عدد زوجي فان أ=2ن حيث ن عدد صحيح
و بالتعويض في (1) ينتج أن
2=(4ن تربيع/ب تربيع) وبالتالي فان ب تربيع = 2ن تربيع اذب ب تربيع عدد زوجي ، وبما أن أوب عددان زوجيان اذن يوجد بينهما قاسم مشترك غير 1 وهو 2 وهذا يناقض الفرض اذن جذر 2 عدد غير كسري(غير نسبي).
أرجو أن أكون قد أفدتك
سلام

شكرا اخوي على شرحك وسرعة ردك علي لكن بصراحه مافهمت زين اقصد الاحداثيات أ و [ وتربيعهم ؟؟؟
لكن انا عندي قاعدة وتقول الدكتورة تطبق لأنتاج الاثبات وهي
2+I حيث ان I = جذر سالب واحد لكن وشلون اطبقها عجزت ..

بشكرك على تفاعلك معي واذا مرت عليك قبل هالقاعده ياليت توضحها لي

تقبل مني خالص الود

18-09-2007, 11:28 PM

السلام عليكم
عذرا لعدم وضوح الحل ، سأحاول التوضيح أكثر
قصدت بتربيعهم أي تربيع كل من العددان أ،ب
أ،ب ليسا احداثيان بل عددان صحيحان يشكلان البسط و المقام لعدد نسبي، و الشرط أن ب وهو المقام لا يساوي صفر.
أعتقد أنه يوجد اختلاف في المصطلحات التي أستخدمها عن المصطلحات التي تستخدمينها ربما لاختلاف البلد، لكن أتمنى أن تستفيدي من الحل.
وفقك الله.

18-09-2007, 11:37 PM

شكرا zozo

هذه أمثلة مشابهة تم وضعها بواسطة المشرف العام الاستاذ omar :

لنبين أن العدد $\sqrt{6}$ لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb Q$ .

من أجل ذلك سنفترض العكس إذن يوجد عددين اوليان فيما بينهما a و b بحيث $\sqrt{6}= \frac{a}{b}$ .

بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن $a^2 = 6 b^2$ ومنه $a^2$ عدد زوجي إذن $a$ زوجي أيضا أي $a = 2k$ .
بالتعويض في المتساوية الأخيرة نجد أن $3b = 2k^2$ إذن العدد $3$ يقسم $2 k^2$ وحيث أن $2$ أولي مع $3$ فإن $2$ يقسم العدد $b$ .
توصلنا إذن إلا ان العددين $a$ و $b$ زوجيان معا اي يقبلان القسمة على $2$ وهذا متناقض مع كونهما أوليان فيما بينهما .
وبالتالي الإفتراض خاطئ والصواب هو $\sqrt{6}$ لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb Q$ .

جواب الشطر الثاني من السؤال الأول .

نفترض أن $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb Q$ .
إذن نكتب $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac {a}{b}$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان أوليان فيمابينهما .
بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن $\sqrt{6}= \frac {a^2-5b^2} {2b^2}$ .
وبما أن العددان $a$ و $b$ صحيحان فإن $\frac{a^2-5b^2}{2b^2}$ عدد جذري ( نسبي بالنسبة لأهل المشرق ) ومنه $\sqrt{6}$ ينتمي إلى $\mathbb {Q}$ وهذا غير صحيح حسب مااثبثناه سابقا .
وبالتالي النتيجة المرجوة .

19-09-2007, 09:39 PM

السلام عليكم ...
اول شي احب اشكركم على مساعدتكم لي والحمدلله فهمت المسألة كويس ويارب ياخذ بأيديكم للخير ويجزاكم خير الجزاء

تقبلوا خالص تقديري
اختكم رهام


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة