أولمبياد الدولية 2009 باللغة الفرنسية

17-06-2009, 05:23 PM

أولمبياد الدولية 2009

إن شاء الله سأقوم بترجمتها إلى العربية
إنها كانت سهلة بالنسبة للسنوات السابقة

17-06-2009, 06:29 PM

الهدف من التمرين هو إيجاد جميع الدوال المعرفة على $\mathbb{R}$ و التي تحقق في المجال $[-1.1]$ $f(2x)=2f(x)^2-1$ بحيث $f(0)=1$ و $\frac{1-f(x)}{x^2}$ لديه نهاية عند ما $x$ تؤول إلى الصفر التي نحددها ب $a$
ندكر بكل $x$ من المجال $[-1,1]$ تكتب على شكل واحد $x=cos(\alpha)$ مع $\alpha$ من المجال $[0,\pi]$
1) (a) تحقق $\lim_{\alpha \to 0}\frac{1-cos(\alpha)}{\alpha^2}=\frac{1}{2}$ (يمكن إستعمال علاقة تعطي $cos(2r)$

(b) بين أن لكل $\alpha$ من المجال $[0,\frac{\pi}{2}]$
لدينا العلاقة : $sin(\alpha)\ge \frac{2\alpha}{\pi}$ و $cos(\alpha)\le 1-\frac{\alpha^2}{\pi}$
2) لتكن $f$ دالة تحقق المطلوب
نعطي لكل $x$ حقيقي و $n$
صحيح (a)
$f(\frac{x}{2^n})=cos(\alpha_n)$ مع
$\alpha_n$ من المجال $[0,\pi]$
بين أن $f$ متصلة في 0 و $\lim_{n \to \infty}\alpha_n=0$
(b) بين أنه يوجد $N$ بحيث لكل
$n \ge N$ لدينا $\alpha_{n+1}=\frac{\alpha_n}{2}$
إستنتج أن $a$ موجب و $f(x)=cos(x\sqrt{2a})$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة