اريد حلا سريع للاسئلة التالية 1- اثبت ان كل عدد صحيح موجب إما ان يكون فرديا أو زوجيا
2- اثبت ان كل عدد صحيح فردي إما ان يكون على الصورة 6k+1أو 6K+5 حيث ان Kينتمي الي الاعداد الصحيحة
3- اثبت ان مربع أي عدد صحيح يكون على الصورة 4Kأو 4K+1حيث ان Kينتمي إلي الاعداد الصحيحة
4- اوجد (74329,3827) و( ( 3799,7337
5- اوجد [ 3827,74329] و [ 3799,7337 ]
6- اوجد ( 123456789 ,987654321 ) ثم اوجد X ,Y بحيث يكون
123456789X+987654321Y = ( 123456789 ,987654321 )
7- اوجد كلا من :-
1-جميع الاعداد a بحيث يتحقق a | 1
2- جميع الاعداد a بحيث يتحقق a| 0
3- جميع الاعداد a بحيث يتحقق a | b لكل عدد صحيح b
8- اثبت ان :-
a) 2 | + n لكل عدد صحيح n
b) 2 | - n لكل عدد صحيح n
c) 3| n(n+1)(n+3)لكل عدد صحيح n
d) 6 | - n لكل عدد صحيح n
e) - n يقبل القسمة على 7 لكل n≥1
f) 1 + 6 n+ يقبل القسمة على 64 لكل n≥1
g) + يقبل القسمة على14 لكل n≥1
9- اذا كان (a,c)=(b,c)=1 فاثبت ان (ab,c)=1
10- برهن ان m(a,b)= (ma,mb ) لكل m≥1
11- اذا كان (a,b)=1 وكان c | a+b فاثبت ان (a,c)=(b,c)=1
12- لتكن a,b,n أعداد صحيحة موجبة انه
اذا كان (a,b )=1 فان)=1 ( , (
a) اذا كان | فان a | b

13- اذا كان a | c و b | c فاثبت ان a,b ] | c ]
14- اذا كان a1 | c , ,a2 | c.......... , an | c فاثبت ان | a1,a2,………….,an ] | c ]
15- اذا كانت a1,a2, ………………………..,an إعدادا أولية نسبيا مثنى مثنى فبرهن ان
[a1 ,a2,………….,an ] =a1.a2.a3…………..an
16- اذا كان aعددا صحيحا موجبا فاثبت ان :
[a ,a+2]=a(a+2)/2اذا كانa زوجيا وان[a ,a+2]=a(a+2) اذا كان a فرديا ً
17- اذا كان b عددا صحيحا موجبا فاثبت ان :- (a,a+b)=(a,b)
18- اذا كان a| bو b | c فاثبت أن :- a | ax+by+cz لجميع الاعداد الصحيحة x,y,z .
19- اذا كان a | bc فاثبت ان :- a | (a,b)c .
20- اذا كان a=dx وb=dy حيث (a,b)=d فاثبت ان (x,y)=1
21- إذا كان (ai ,b )=1لكلمن الأعداد a1 ,a 2,a3, ……… an فاثبت ان:- ( a1 a2 ………………..an ,b )=1

22- استخدم طريقة فيرما لتحليل الأعداد التالية :-
977 ; 6077 ; 34417 ; 40273 ; 81518057 ; -1
23- اثبت أن F4 عد أولي .
24- اوجد جميع حلول كل من المعادلات الديوفنتية التالية :-
1)5X+6Y= 17
2)5X+22Y =18
3) 60X+18Y =97
4) 172X+20Y=1000
5) 738X +621 Y=510
6)12X +510 Y =274
7)69X +111Y =9000
25- اوجد جميع حلول الصحيحة الموجبة أن وجدت للمعادلات التالية
1)5X+6Y= 17
2)5X+22Y =18
3) 60X+18Y =97
4) 172X+20Y=1000
5) 738X +621 Y=510
6)12X +510 Y =274
7)69X +111Y =9000
26 - اوجد جميع حلول كل من المعادلات الديوفنتية التالية :-بطريقتين ( اويلر – خوارزمية إقليدس )
1)6X+24Y -41Z=91
2)15X+12Y +30Z =24
3) 5X-2Y-4Z =10

27-اذا كان a b (n)فاثبت أن (a,n)=(b,n) :
28-اذا كان ab cd(n) وكان b Ξ d(n)حيث أن (b,n)=1 فاثبت أن a c(n) :
29-اذا كان a b(n1)وكان b c(n2) فاثبت أن a | c(n) حيث أن (n1,n2)=n
30-اثبت صحة كل علاقة من علاقات التطابق التالية :-
1) 1(89) , 2) 1(645) , 3) 1(7) , 4) 1(31), 5) -1(7)
6) 0(m)
31-إذا كان a عددا زوجيا فاثبت أن 0(4) وإذا كان a فرديا فاثبت أن 1(4) .
32- إذا كان a عددا فرديا فاثبت أن 1(8).
33- برهن أن a(3)لكل عدد صحيح a.
34- إذا كانb*,a* نظيرين ضربيين للعددa قياس n فاثبت أن a* b* (n)
35- جد جميع الأعداد التي تقل عن العدد 12ولها نظير ضربي قياس 12
36- هل يوجد نظير ضربي للعد 16 قياس 35؟اذا كان الجواب نعم فاوجد هذا النظير
37- اذا كان x y(n)فاثبت أن ax +bx +c ay+by +c (n) لكل a,b,c z
38- اذا كانت fهي الحدودية f(x) z[x]وf(x)= x فاثبت أن f(x) f(x+tn) (n) لكل t z
39- اوجد اعلى قوة kللعد 2بحيث تقبل كلا من الاعداد التالية القسمة على 2
4444 ; 1324804 ; 81356822426
40- اوجد اعلى قوة kللعد 5 بحيث تقبل كلا من الاعداد التالية القسمة على 5
5555 ; 2566025 ; 23455890
41- اختبر قابلية القسمة لكلا من الأعداد التالية على أي من العددين 3او 9:
3333 ; 32512735 ; 153456781
42- اختبر قابلية القسمة لكلا من الأعداد التالية على العدد 11:
6743109 ; 10763732 ; 1086320015
43- اذا كان m | n فاثبت أن -1 | -1
44- اذا كان n| +1 حيث أن n عدد أولي فاثبت أن n=3
45- هل صحيح أن (n-1) 0(n) لأي عدد مؤلف n؟
46- اذا كان p عددا اوليا فاثبت أن :-
1) ( + (p)
2) m(p) ↔ ( (m+1)(p)
3) m(p); m 1
47- اذا كان p عددا اوليا وكان1 =(p,n )فاثبت أن :
1) (p-1) (p-1)!(p)
2) 1(p)
48- اذا كان p عددا اوليا فرديا فاثبت أن : + + +……….+ 0(p)
49- جد باقي قسمة العدد علي العدد 7
50- جد باقي قسمة العدد علي العدد 12
51- اثبت أن :- + 0(mod7)

52- ماهي الأعداد الاولية بين العددين 10000و10050؟
53- استخدم طريقة فيرما لتحليل الأعداد 34417و40273و6077و977؟
54- برهن انه يوجد حل للمعادلة الديوفنتية a1x1+a2x2+…….+anxn=c
حيث n 1اذا وفقط اذا كان a1,a2,a3………,.an))؟

55- اذكر مبرهنة فيرما الصغرى ؟