معادلة بل Pell's Equation

13-07-2009, 02:44 PM

لنصغ ما قلناه على شكل نظرية نرجع إليها لاحقا:

نظرية 1 : إذا كان $(a,b)$ و $(c,d)$ حلان للمعادلة $nx^2 + 1 = y^2$ فإن كلّا من

$(bc+ad, bd+nac),(bc-ad, bd-nac)$

هو حل للمعادلة السابقة.

ونذكر أيضا النتيجة:

نتيجة 2 : إذا كان $(a,b)$ حل للمعادلة $nx^2 + 1 = y^2$ فإن

$(2ab, b^2 + na^2)$

حل للمعادلة السابقة أيضا.

الآن، نستطيع تعميم المسألة بقول أنه لو كان $(a,b)$ حل للمعادلة $nx^2 + k = y^2$ و في نفس الوقت كان $(c,d)$ حل للمعادلة $nx^2 + k' = y^2$ فإن كلا الزوجين المرتبين التاليين

$(bc+ad, bd+nac),(bc-ad, bd-nac)$

حلين للمعادلة:

$nx^n + kk' = y^2$

وهذا واضح حسب ما أوردنا أعلاه.

تعميم 3 (نظرية “Brahmagupta”): إذا كان $(a,b)$ حل للمعادلة $nx^2 + k = y^2$ و كان $(c,d)$ حل للمعادلة $nx^2 + k' = y^2$ فإن كلّا من

$(bc+ad, bd+nac),(bc-ad, bd-nac)$

حلين للمعادلة $nx^2 + kk' = y^2$

أيضا، إحدى الخصائص المهمة، إذا كان $(a,b)$ حل للمعادلة $nx^2 +k = y^2$ ، فإنه واضح أن $(2ab,b^2+na^2)$ هو حل للمعادلة $nx^2 + k^2 = y^2$ ، و بالقسمة على $k^2$ نجد أن:
$x = \frac{2ab}{k} \qquad y=\frac{b^2+na^2}{k}$
هو عبارة عن حل لمعادلة “بل”:

$nx^2 + 1 = y^2$

وهذه الصيغة تساعدنا في إكتشاف الحل في حالات خاصة متعددة، كما في حال كان $k=2$ ، لأننا لو وجدنا حل للمعادلة $nx^2 + 2 = y^2$ وليكن $(a,b)$ ، نجد:

$na^2 + 2 = b^2 \Rightarrow na^2 = b^2 - 2$

بالتالي فإن الحلول الأخرى تكون:

$x = \frac{2ab}2 =ab \qquad y=\frac{b^2 + na^2}2 = \frac{2b^2 - 2}2 = b^2 - 1$

(تذكر: الحلول الأخيرة للمعادلة $nx^2 + 1 = y^2$ و ليس للمعادلة $nx^2 + 2 = y^2$ ، هذا يعني أنك تستطيع استعمال المعادلة الثانية لحل الأولى حسب نظرية1).

كمثال، لنأخذ المعادلة $23x^2 + 1 = y^2$ .
لاحظ أنه يصعب الحصول على حل ابتدائي، والذي يمكّننا من استنتاج بقية الحلول بسهولة و يسر، لذا نلجأ للتحايل، لنحل المعادلة $23x^2 + 2 = y^2$ بدلا من ذلك، واضح أنه أول حل يخطر على البال هو $x=1,y=5$ ، أي أن $(a,b) = (1,5)$ . الآن ماذا سيفيدنا؟ حسب ما أوردنا سابقا الحل سيكون:

$x = ab = 1\times 5 = 5, \qquad y = b^2-1 = 24$

ويمكنك اعتباره الحل الأولي ثم تستنتج الحلول الأخرى باستخدام نظرية 1.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة