وكان أن أقدم لوباتشفسكي في مطلع القرن التاسع عشر على استبدال موضوعة التوازي بموضوعة مغايرة تماماً تنص على أنه من نقطة خارجة عن مستقيم يمكن إنشاء موازيين للمستقيم كما يمكن إنشاء عدد لا نهاية له من المستقيمات التي لا تقطع المستقيم المفترض ولا توازيه. نشأت بذلك هندسة مختلفة تماماً عرفت بهندسة لو با تشفسكي, ولم تمضي أكثر من ثلاثة عقود بعد لوباتشفسكي حين قام ريمان بطرح صيغة مختلفة لموضوعة التوازي حيث تصور ريمان في صيغته أنه يستحيل إنشاء إي موازي لمستقيم معتبر من نقطة خارجة عنه, قد تبدو هندسات إقليدس ولوباتشفسكي وريمان متناقضة فيما بينها. إن هذا الأمر غير صحيح على الإطلاق فما يهم في أية منظومة رياضية هو الاتساق الداخلي بين موضوعات تلك المنظومة. يعني ذلك ألاَ تؤدي الموضوعات إلى برهان صحة نظرية ما وصحة النظرية المعاكسة. إن موضوعات كل هندسة من الهندسات الثلاث متسقة تماماً فيما بينها. لكن ماذا عن علاقة الهندسات الثلاث ببعضها, هل يعقل أن تكون إحدى الهندسات صحيحة, بينما الهندستان الباقيتين غير صحيحتين .مرة أخرى تطلعنا الرياضيات على كل ما هو غير متوقع. كي نحكم على صحة هندسة ما يجب أن تكون هناك منظومة تتحقق فيها موضوعات الهندسة ونظرياتها, تقول لنا إحدى النظريات المتقدمة إن وجدت منظومة تتحقق فيها هندسة لوباتشفسكي فلا بدَ من وجود منظومة تتحقق فيها هندسة إقليدس. كذلك إن وجدت منظومة تتحقق فيها هندسة إقليدس فلا بدَ من وجود منظومة تتحقق فيها هندسة ريمان, أيضاً إن وجدت منظومة تتحقق فيها هندسة ريمان فلا بدَ من وجود منظومة تتحقق فيها هندسة لوباتشفسكي, يعني ذلك أن كل هندسة من الهندسات الثلاثة تؤدي إلى أية هندسة من الهند ستين الأخرتين. بكلمات أبسط وذات طابع إجمالي إن صحة كل هندسة تتوقف على صحة أية هندسة أخرى. إن كل هذه الهندسات التي تبدو متناقضة هي صحيحة في آنَ معاً. نذكر بالمثابة أن المنظومة التي تتحقق فيها هندسة إقليدس هي مجموعة المبرهنات المألوفة فيما ندعوه الهندسة المستوية والهندسة الفراغية والتي تطرح في المنهاج التدريسي للمرحلتين الإعدادية والثانوية. .. .

 

 

	إن كانت الهندسات الثلاث صحيحة, فهل يمكن أن تشتق هندسة واحدة ؟ يمكن أن تستنتج أية هندسة انطلاقاً مما يعرف بهندسة الأعداد العقدية, تعتمد في هذه الهندسة الأعداد العقدية, يتكون العدد العقدي من مركبتين, تتمثل المركبة الأولى بعدد حقيقي من الأعداد الحقيقية التي نعرفها, بينما المركبة الثانية هي عدد حقيقي لكنه يسرد كأمثال لوحدة قياس تخيلية هي الجذر التربيعي للعدد –1 تعتبر الدائرة حجر الزاوية في هذه الهندسة ويعبر عنها بمعادلة في أعداد ومحاصيل عقدية.تربط بهذه المعادلة كمية حقيقية تعرف باسم المميز. إن كلن المميز سالباً كانت الدائرة حقيقية. وإن كان المميز صفراً كانت الدائرة نقطية. غدا ذلك تكون الدائرة تخيلية. ترتبط كل الدوائر ببعضها بما يعرف بتحويلات مويبيوس يمكن ضم دائرتين إلى بعضهما على أن تضرب معادلة كل دائرة بعدد حقيقي للحصول على حزمة من الدوائر ,إن لكل دائرة مميزاً خاصاً بها كما وأن هناك مميزاً مشتركاً للدائرتين, إذا طرحنا مربع المميز المشترك للدائرتين من جداء مميزهما نحصل على كمية معيارية تقودنا إلى إحدى الهندسات الثلاث, إن كانت الكمية المعيارية موجبة كانت حزمة الدوائر ناقصية تتقاطع كلها في نقطتين. إن كانت الكمية المعيارية صفراً كانت الحزمة مكافئية حيث تتماس كل الدوائر في نقطة. أخيراً إن كانت الكية المعيارية سالبة كانت حزمة الدوائر زائدية غير متقاطعة وكانت فيها دائرتان نقطيتان, نعتبر ثلاثة أصناف من تحويلات موبيوس, تترك تحويلات الصنف الأول حزم الدوائر الناقصية دون تغيير إن تركت التحويلات من الصنف الثاني حزم المستقيمات دون تغيير, كانت ساحة تأثيرها المستوي الإقليدي المألوف وقدمت لنا الهندسة الإقليدية, أخيراً نختار تحويلات الصنف الثالث بحيث تترك حزم الدوائر الزائدية دون تغيير, تكون المسافة الداخلية من سطح دائرة هي ساحة تأثير هذه التحويلات التي تعرف بذلك هندسة لوباتشفسكي, نشير أخيراً إلى أن سطح الكرة هو المنظومة التي تتحقق فيها موضوعات إقليدس والسطح الداخلي للدائرة هو المنظومة حيث تتحقق موضوعات لوباتشفسكي. .. .

 

 

	الهندســـة الإقليديــة والـلا إقليديــة أضغط هنا .. . الله الموفق .. . الموضوع منقول للأفاده .. .