أثناء البحث عن حل المعادلة x2 = r حيث r عدد حقيقي, تبرز المشكلة عندما يكون r<0 حينئذ يكون حل المعادلة مستحيلاً إذ لا يمكن إيجاد عدد حقيقي مربعه سالب, و هذا الكلام يعني هندسياً أنه ليس لهذه المعادلة حل على المستقيم لذلك سوف نبحث عن حلها في المستوي.
إذاً سوف نبحث عن حل المعادلة x2 = (r,0) حيث x = (a,b).
و ذلك بملاحظة أن التطبيق (r.0) r ايزومورفيزم (Isomorphism) .
لنعرف على R العلاقتين + و . بالشكل التالي:
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
(a,b) . (c,d) = (ac-bd,ad+bc)
لدينا x = (a,b) إذا بالتعويض في المعادلة يكون:
(a,b)2=(r,0) (a2-b2,2ab)=(r,0) a2-b2=r  ab=0
a=0  b=√-r
إذاً x = (0,√-r) يمثل حلاً لهذه المعادلة.
بملاحظة أن:
(0,1)2=(-1,0) -1
أي أن (0,1) √-1 و لكن لا يوجد √-1 في الواقع, و من جهة أخرى فإن √-1 هو أساس البنية الجديدة التي نريد تعريفها, نسمي √-1 الوحدة التخيلية و نرمز لها بالرمز i أي i=√-1.
لدينا:
x=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,1)(b,0) a+ib
تعريف 1.1: نسمي a+ib عدداً مركباً و نسمي المجموعة
{ a+ib ; a,b R}
مجموعة الأعداد المركبة و نرمز لها بالرمز C.
إن المجموعة C مع العمليتين +و. حيث:
(a+ib) + (c+id) = (a+c)+i(b+d)
(a+ib) . (c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc)
تشكل حقلا ً (C,+,.) نسميه حقل الأعداد المركبة و نسمي كل عنصر فيه نقطة, و هذا الحقل يتمتع بجميع صفات الحقل (R,+,.) ما عدا (مقارنة عددين, و الخاصة i2=-1).
تعريف 2.1: ليكن z=x+iy عدداً مركباً عندئذ نسمي المقدار √x2+y2 القيمة المطلقة للعدد z و نرمز له بالرمز |z|.
تعريف 3.1: نسمي مجموعة النقاط z التي تحقق المتراجحة
z-z0│ < r
جوار النقطة z0 و نسمي r نصف قطر هذا الجوار حيث r عدد حقيقي موجب تماماً.
تعريف 4.1: نسمي النقطة z0 نقطة حدودية للمجموعة S إذا كان كل جوار للنقطة z0 يحوي على الأقل نقطة من S و نقطة ليست من S.
تعريف 5.1: نقول عن النقطة z0 إنها نقطة داخلية في المجموعة S إذا أمكن إيجاد جوار لهذه النقطة محتوى تماماً في S.
تعريف 6.1: نقول عن مجموعة ما إنها مفتوحة إذا كانت جميع نقاطها داخلية.
تعريف 7.1: المنطقة هي مجموعة مفتوحة أو مجموعة مكونة من نقاط مجموعة مفتوحة إضافة لجميع أو بعض نقاطها الحدودية.
نتيجة 1.1: المنطقة المفتوحة هي مجموعة مفتوحة.
تعريف 8.1: نقو ل عن منطقة مفتوحة إنها متصلة إذا أمكن وصل أي نقطتين منها بواسطة خط منكسر محتوى داخلها.
تعريف 9.1: الساحة هي منطقة مفتوحة و متصلة.
نتيجة 2.1: اعتمادا على النتيجة 1.1 نكتب, الساحة هي مجموعة مفتوحة و متصلة.
تعريف 10.1: لتكن Rمنطقة ما من C عندئذ إذا وجد عدد مركب وحيد w لكل عدد z من R فإننا نقول إن لدينا تابعاً بمتحول مركب واحد و نرمز لذلك بالشكل التالي w=f(z).
عندئذ نسمي R ساحة تعريف التابع و نسمي مجموعة قيم w المقابلة للأعداد z من R بمجال التابع.
ملاحظة 1.1: غالباً ما تكون ساحة تعريف التابع تشكل ساحة و لكن هذا ليس ضرورياً.
ملاحظة 2.1: التعريف 10.1 يمثل تعريف التابع وحديد القيمة.