النهايات والاتصال
________________________________________


ماذا نقصد بقولنا أن الدالة متصلة، بالطبع نعني منحنى الدالة أو الخط البياني للدالة مستمر دون انقطاع في الفترة المحددة له بالنص وهذا يعني أن كل قيمة من قيم الفترة معرفة على الدالة أو بمعنى أكثر دقة أن الدالة معرفة لجميع قيم الفترة المعطاة لهذه الدالة، فمنحى الدالة د(س) = 2 س + 3 متصل في ح في حين منحنى الدالة د(س) = 2 ÷ (س ـ 1) غير متصل عند س = 1 لأن الدالة غير معرفة عند س = 1 كما نعلم ، وبالطبع دوال كثيرات الحدود أو دوال المقياس(القيمة المطلقة) لا تسبب لنا مشكلة في اتصالها ولكن تظهر المشكلة للدوال النسبية التي يجب أن لا يكون مقامها مساوياً الصفر وإلا فالأمر يحتاج لدراسة أو الدوال المعرفة بقاعدتين مختلفتين عند نقطة فمشكلتنا عند تلك النقطة وليس ما قبلها أو ما بعدها ولذا نحتال للتعرف على اتصالها ببحث غايتها اليمنى واليسرى عند تلك النقطة فان كانا لهما نفس الناتج فمرحباً بها وإلا ... والحال لباقي الدوال الآسية واللوغاريتمية والمثلثية والاتصال في الفترات مفتوحة ومغلقة و ...

الاتصال عند نقطة لدالة

بكل بساطة نقول ان الدالة د(س) متصلة عند النقطة س = ل (ل ، د(ل)) إذا تحقق الآتي
1) د(ل) موجودة أي د(ل) Э ح وبمعنى أصح أن الدالة معرفة عند النقطة (ل ، د(ل))
2) نهاية الدالة عندما س تؤول إلى ل = ك Э ح أن أن النهاية للدالة عند النقطة موجودة
3) تساوي الناتجان في (1) ، (2) أي أن نهاية الدالة عند ل = د(ل) وقد يكتفي البعض بهذا لكونه يشمل 1) ، 2) أو حذف الشرط 2) ـ
فمثلاً
1) الدالة د(س) = س ÷ (س ـ 1) متصلة في ح/{2} ويمكن القول بأن الدالة غير متصلة عند س = 1 لأن د(1) غير موجودة وتساوي مالانهاية لا تنتمي إلى ح
2) الدالة ق(س) = س2 + 5 متصلة عن س = 2 لأن نهايتها عند 2 تساوي د(2) تساوي 9

--------------------------------- س2 + 2 ، س > 1
3) الدالة : د(س) = {
---------------------------------- 4 س ـ 3 ، س <= 1

د(س) غير متصلة عند س = 1 لأن د(1) = 1 والنهاية غير موجودة فالنهاية اليمنى 1 والنهاية اليسرى 3 ولكننا نقول أن الدالة متصلة من اليمين

-------------------------------- س2 + 2س ـ 5 -----------، س > 2
4) الدالة : ق(س) = {
--------------------------------- 2 س ـ 1-----------------، س <= 2

ق(س) متصلة عند 2 لأن ق(2) = 3 والنهاية اليمنى واليسرى 3 أي النهاية موجودة وتساوي ق(2)

وعلى العموم لمعرفة اتصال دالة عند نقطة ل مثلاً فيجب التأكد أن التعويض المباشر في الدالة يعطي قيمة حقيقية ومن ثم نبحث غاية الدالة ويجب أن تكون موجودة ومساوية للقيمة الحقيقية السابقة وإلا فالدالة غير متصلة

قد يطلب بحث الاتصال من يمين النقطة فيكفي بحث النهاية اليمنى فقط بعد التأكد من وجود قيمة للدالة عند النقطة
في الدالة المعرفة بقاعدتين بعد معرفة قيمة الدالة من إحدى القاعدتين نبحث النهاية عند النقطة للقاعدة الثانية أولاً
تمارين
ابحث اتصال الدالة د(س) عند س = ل في كل مما يأتي
1) د(س) = | س ـ 1 | ، ل = 1
2) د(س) = (س + 1) ÷ ( س ـ 2) ، ل = 3
3) د(س) = (س + 1) ÷ ( س ـ 2) ، ل = 2

--------------------------------------- س2 + 2س ـ 5 ، س > 2
4) الدالة : د(س) = {-------------------------------------------------------- ، ل = 2
-----------------------------------------2 س + 3 ، س <= 2

5) أوجد قيمة ل التي تجعل الدالة الآتية متصلة عند س = 2

------------------------------------------س2 + 2س ـ ل ، س <> 2
ق(س) = {
---------------------------------------------------- 3 ------------، س = 2

6) ابحث اتصال الدالة الآتية عند س = 1

----------------------------------- [جذر(س + 8) ـ 3] ÷ (س ـ 1) ، س لاتساوي 1
ق(س) = {
----------------------------------------------- 1 ÷ 6------------------------، س = 1



إعادة تعريف دالة لتكون متصلة عند س = ل

تعرفنا علي كيفية بحث اتصال دالة عند نقطة فكنا نعوض مباشرة في الدالة فإن كان الناتج غير معرف انتهينا إلى أن الدالة غير متصلة وهو موضوعنا معالجة هذه الحالة فقولنا يختص بالتعويض أي د(ل) غير معرفة حيث س تقترب من ل، نوجد نهاية الدالة عندما س تؤول إلى ل فإن وجدت ك تنتمي إلى ح كان بالإمكان إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند ل وإلا فلا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة، وبصورة بسيطة للدوال غير المتصلة عند نقطة نوجد نهايتها عند تلك النقطة والناتج يعطى لقيمة الدالة عند هذه النقطة والأمثلة التالية توضح ذلك
(1) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 3
د(س) = (س2 ـ 5 س + 6) ÷ (س ـ 3)
الحــــل
د(3) = 0 ÷ 0 كمية غير معرفة
نبحث النهاية عندما س تؤول إلى 3 حيث
نضع د(س) في أبسط صورة بتحليل المقدار الثلاثي س2 ـ 5 س + 6 إلى (س ـ 3)(س ـ 2) وبحذف س ـ 3 يكون
د(س) = س ـ 2
نهاية د(س) عندما س تؤول إلى 3 تساوي 3 ـ 2 = 1عدد حقيقي
الآن يمكن كتابة الدالة بصورة جديدة وتكون متصلة عند س = 3 بالشكل الآتي
---------------------------- س2 ـ 5 س + 6 ، س <> 3
د(س) =
------------------------------------ 1 ، س = 3

(2) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 4
د(س) = ( س + 6) ÷ (س ـ 4)
الحــــل
د(4) = 10 ÷ 0 = ∞ كمية لا تنتمي إلى ح
د(س) بسطها لا يحوي س ـ 4 حتى يتم حذفه مع المقام ولذا يكون
نهاية د(س) غير معروفة عند س = 4
فلا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند س = 4

لاحـظ : الدالة د(س) متصلة في ح ـ {4}

(3) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 3
د(س) = |س ـ 3| ÷ (س ـ 3)
الحــــل
يجب إعادة تعريف المقياس حول العدد 3 الذي يجعل قيمته تساوي الصفر
س >= 3 يكون |س ـ 3| = س ـ 3 -----> د(س) = (س ـ 3) ÷ ( س ـ 3) = 1
س < 3 يكون |س ـ 3| = ـ(س ـ 3) ---> د(س) = ـ(س ـ 3) ÷ (س ـ 3) = ـ1
أ
-------------------------- 1 ، س > 3
د(س) =
-------------------------- ـ1 ، س < 3

نهاية الدالة من اليسار عندما س تؤول إلى 3 تساوي ـ1
نهاية الدالة من اليمين عندما س تؤول إلى 3 تساوي 1
أي أن النهاية غير موجودة
لا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند س = 3

تمارين
أعد تعريف كل من الدوال الآتية بحيث تكون متصلة(إن أمكن) عند س = ل
أ) د(س) = 2 ÷ (س ـ 5) ، ل = 5
ب) د(س) = (س2 + 5 س ـ 14) ÷ ( س ـ 2) ، ل = 2
ج) د(س) = (س + 1) ÷ [( جذر(س + 5) ـ 2] ، ل = ـ1
د) د(س) = |س ـ 2| ÷ (س –2) + 3 ، ل = 2
ه) د(س) = (س8 ـ 1) ÷ (س3 ـ 1) ، ل =

-------------------------------- س3 ـ 1 ، س > 3
و) د(س) =--------------------------------------------------- ، ل = 3
-------------------------------- س + 23 ، س < 3

ملاحظة : مجموعة الأعداد الحقيقية هي الفترة [ـ ما لانهاية ، ما لانهاية ]


الاتصال في فترة

نعلم أن الفترة هي مجموعة من الأعداد التي تنتمي إلى ح مجموعة الأعداد الحقيقة ونختلف في الانتماء لطرفيها فهناك الفترة المغلقة والمفتوحة ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة ونصف المستقيم فنكتب الفترة المغلقة بالصورة [أ ، ب] والمفتوحة بالصورة ]أ ، ب[ ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة بالصورة [أ ، ب[ أو ]أ ، ب] ونصف المستقيم [أ ، ما لانهاية [ أو ] ـ ما لانهاية ، أ[ .
أولاً :ـ
الاتصال في الفترة المفتوحة ]أ ، ب[ لدالة ما يوجب اتصالها عند كل نقاط الفترة مع ملاحظ أن أ ، ب لا تنتميان للفترة ]أ ، ب[
الاتصال في الفترة [أ ، ب] لدالة ما يوجب تحقق
1) اتصالها في ]أ ، ب[
2) اتصالها عن يمين أ
3) اتصالها عن يسار ب
ضرورة بحث الاتصال عند النقط التي يتغير بجوارها تعريف الدالة والتي تنتمي للفترة ]أ ، ب[ من اليمين واليسار
ثانياً :ـ
توجد دوال عموماً تكون متصلة في مجالها ومنها
1) الدالة الثابتة د(س) = ك حيث ك ثابت
2) الدالة د(س) = س ، س تنتمي إلى ح
3) دالة المقياس د(س) = |س|
4) دوال كثيرات الحدود
5) الدالة الجذرية مع مراعاة دليل الجذر كونه فردياً(لجميع قيم ح) أو زوجياً(ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة لعدم قبولنا بالجذر السالب هنا)
ثالثا:ـ
بفرض أن د(س) ، ق(س) دوال متصلة في فترتين تقاطعهما الفترة ف فإن
1) (د + ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
2) (د ـ ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
3) (د . ق)( س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
4) (د ÷ ق)(س) متصلة في ف ـ { مجموعة أصفار المقام } ، الدالة النسبية متصلة لجميع قيم س عدا تلك التي تجعل المقام = صفر
أمثلة مباشرة :ـ
1) الدالة د(س) = 7 متصلة في ح لأنها دالة ثابتة
2) الدالة د(س) = س3 + 3 س2 ـ 7 متصلة في ح لكونها كثيرة حدود
3) د(س) = |س ـ 3| متصلة في ح لكل س تنتمي إلى ح
4) ق(س) = جذر(س ـ 2) متصلة في [2 ، مالانهاية[
5) ق(س) =( س + 5) ÷ ( س ـ 2) متصلة في ح ـ {2}
6) ق(س) = 5 ÷ جذر(س ـ 3) متصلة في ]3 ، مالانهاية[ لاحظ 3 لا تنتمي للفترة والدالة ليست معرفة عندها
7) د(س) = جذر(س ـ 5) ، ق(س) = جذر(7 ـ س) فالدالة د(س) متصلة في [5 ،مالانهاية[ والدالة ق(س) متصلة في ] ـ مالانهاية 7] فإن
أ) مجموع الدالتين والفرق بينهما وحاصل ضربهما كل منها متصل في فترة تقاطعهما [5 ، 7]
ب) قسمة الدالتين (د ÷ ق)(س) متصلة في [5 ، 7[ لاحظ س = 7 تجعل الدالة غير معرفة
ت) قسمة الدالتين (ق ÷ د)(س) متصلة في ]5 ، 7] لاحظ س = 5 تجعل الدالة غير معرفة
8) د(س) = (س2 ـ 2س + 3) ÷ (س2 ـ 1) متصلة في ح ـ [ ـ1 ، 1] ، البسط والمقام كثير حدود ، ـ1 ، 1 أصفار المقام

مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في الفترة [ ـ3 ، 7 ]
--------------------------- س2 + 2 ، س > 2
د(س) = {
----------------------------- 5 س ـ 4 ، س # 2
الحــل
لاحظ العدد 2 ينتمي للفترة[ـ3 ، 7] فلذا نبحث الاتصال في [ـ3 ، 2[ ، ]2 ، 7] ، وعند س = 2
في الفترة [ـ3 ، 2[ : د(س) = س2 + 2 الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود
في الفترة ]2 ، 7] : د(س) = 5 س ـ 2 الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود
عند س = 2
د(2) = 5 × 2 ـ 4 = 10 ـ 4 = 6
عندما س تقترب من يسار 2 تكون د(س) = س2 + 2 فالنهاية اليسرى للدالة = 4 + 2 = 6
عندما س تقترب من يمين 2 تكون د(س) = 5 س ـ 4 فالنهاية اليمنى للدالة = 5 × 2 ـ 4 = 10 ـ 4 = 6
نهاية د(س) عندما س تؤول إلى 2 تساوي د(2)
الدالة متصلة عند س = 2
الدالة متصلة في الفترة [ـ3 ، 7]
مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في ح
---------------------- 3---------------- ، س < ـ2
د(س) = {--------- س2 ـ 2 ------------، ـ2 < س < 4
------------------- 3 س + 2-------------- ، س > 4
نبحث الاتصال في كل من : ]- مالانهاية, ـ2[ ، ]ـ2 ، 4[ ، ]4 ، مالانهاية [ ، س = ـ2 ، س = 4
في الفترة ]ـ مالانهاية، ـ2[ الدالة ثابتة فهي متصلة
في الفترة ]ـ2 ، 4[ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة
في الفترة ]4 ، مالانهاية [ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة
عند س = ـ2
د(ـ2) = 3
نهاية الدالة عندما س تؤول إلى ـ2 من اليمين = 4 ـ 2 = 2 ¹عند س = 4
د(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14
نهاية الدالة عندما س تؤول إلى 4 من اليسار = 16 ـ 2 = 14 متصلة من اليسار
نهاية الدالة عندما س تؤول إلى 4 من اليمين = 12 + 2 = 14 متصلة من اليمين
النهاية اليمنى = الغاية اليسرى
نهاية الدالة عند س = 4 موجودة وتساوي 12 = د(4)
الدالة متصلة عند س = 4
الدالة متصلة في ح ـ { ـ2 }


جميل أن تتقدم وترى أحلامك تتحقق
والأجمل من ذلك أن تبتسم وأنت راض عن نفسك

[ بالأمس حلمت وسهرت ، واليوم قرأت وكتبت، وغدا أكون كالذي حلمت ]