بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ,
أقدم لكم مجموعة من المسائل المنوعة على تطبيقات على القصوى في التفاضل أرجو أن تنال إعجابكم , وأرجو من كل عضو في هذا المنتدى أن يدلي بدلوهـ في حل هذهـ المسائل التي أعرف حل بعضها وأرجو منكم مساعدتي في معرفة حلي هل هو صحيح أم لا ؟ ؟!
وإليكم التالي :
1) ما مساحة أكبر مستطيل إذا كانت مساحته = 20 سم ؟
2) ما مساحة أكبر مستطيل يرسم داخل دائرة نصف قطرها = 5 سم ؟
3) ما ارتفاع الإسطوانة ذات أكبر حجم والتي ترسم داخل دائري ارتفاعه 6 سم ونصف قطر قاعدته 2 سم ؟[/color]4) قطعة أرض مستطيلة مساحته 800 م‎3 , نريد تسويرها من ثلاث جهات فما أبعادها ليكون طول السياج أقل ما يمكن ؟
5) صندوق قاعدته مربعة بلا غطاء حجمه 32 سم2 ما أبعادهـ لتكون كمية المادة التي يصنع منها الصندوق أقل ما يمكن ؟
6) ما مساحة مستطيل يرسم داخل مثلث متساوي الساقين ارتفاعه 10 سم , وقاعدته 8سم بحيث أحد أبعاد المستطيل على قاعدة المثلث ورأساهـ الآخران على ساقي المثلث ؟
7) ما مساحة أكبر مستطيل يرسم فوق محور السينات , ورأساهـ الآخران تقع على المنحنى ص= 12-س2 ؟
8) ما أقل مساحة للمثلث أم ب . بحيث أب هو مستقيم يمر في النقطة (2,4) , أ تقع على محور السينات الموجب , وتقع ب على محور الصادات الموجب , و م هي نقطة الأصل ؟
9) ما حجم أكبر مخروط يرسم داخل كرة نصف قطرها 6 سم .
10) سفينتان أ إلى الجنوب من ب وتبعد عنها 100 كم , تبحر أ شمالاً بسرعة 20 كم /ساعة , وتبحر ب غرباً بسرعة 10 كم/ساعة , متى يكون البعد بينهما أقل ما يمكن ؟

 

 

بسم الله الرحمن الرحيم
4 قطعة أرض مستطيلة مساحته 800 نريد تسويرها من ثلاث جهات فما أبعادها ليكون طول السياج أقل ما يمكن ؟
نفرض طول المستطيل س وعرضه ع فتكون مساحته س ع=800 أي ع = 800 / س

طول السياج = 2س+ع = 2س + 800 / س
نرمز تا( س ) = 2س + 800 / س
وندرس تغيرات هذا التابع حيث س اكبر تماما من الصفر
تا َ(س) = 2 – 800/س^2 =( 2 س^2 – 300) / س^2
ينعدم تا َ ( س ) عندما س = + 5 جذر 6 وتكون تا ( 5 جذر 6 ) = 10 جذر 6 قيمة صغرى محليا وهي اقل قيمة للتابع وهي تمثل طول السياج
أي ان طول المستطيل 5 جذر 6 و عرضه 10 جذر 6

 

 

بسم الله الرحمـــن الرحيم

5) صندوق قاعدته مربعة بلا غطاء حجمه 32 سم2 ما أبعادهـ لتكون كمية المادة التي يصنع منها الصندوق أقل ما يمكن ؟
نفرض طول ضلع القاعدة س وارتفاع الصندوق ع فتكون كمية المادة التي يصنع منها الصندوق تمثل المساحة الجانبية للصندوق + مساحة قاعدته
الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع = ع س^2 = 32 اذا ع = 32/س^2
المساحة المطلوبة = 4س ع+س^2 = 128/ س+س^2 = تا ( س )
ندرس تغيرات هذا التابع حيث س اكبر تماما من الصفر
تاَ ( س ) =- 128/ س^2 +2 س
ينعدم التابع المشتق عندما س = 4 و تا ( 4 ) = 48 سم 2هي قيمة صغرى محليا
اذا س = 4 , ع = 2

 

 

بسم الله الرحمن الحريم
10) سفينتان أ إلى الجنوب من ب وتبعد عنها 100 كم , تبحر أ شمالاً بسرعة 20 كم /ساعة , وتبحر ب غرباً بسرعة 10 كم/ساعة , متى يكون البعد بينهما أقل ما يمكن ؟
الحل:
نلاحظ ان سرعة أ هي ضعف سرعة ب فاذا كانت المسافة التي تقطعها السفينة أ = س فتكون ب قد قطعت س/2
عندما تقطع السفينة أ مسافة س يتبقى لديها 100-س
نلاحظ من المثلث القائم وحسب فيثاغورث
( 100 – س ) ^2 + ( س /2 ) ^2 = مربع المسافة بينهما
نرمز للتابع تا ( س ) = ( 100 – س ) ^2 + ( س /2 ) ^2
نشتق التابع
تا َ ( س ) = - 2 ( 100 – س )+ ½ س = 5/2 س –200
ينعدم تا َ ( س ) عندما س = 80
الزمن = المسافة / السرعة = 80/20 = 4 ساعات
وهو المطلوب

 

 

بسم الله الرحمن الرحيم

2) : مساحة اكبر مستطيل يمكن رسمه داخل دائرة نصف قطرها 5 سم.

في جميع اسئلة التطبيقات لابد من وجود معادلة مساعدة ودالة..

الدالة في هذا السؤال واضحة وهي مساحة المستطيل.. (الطول *العرض)
اما المعادلة فتحتاج لتمرين متواصل وهي في هذا السؤال هي معادلة الدائرة

اذا وضعت مركز الدائرة عند نقطة الاصل فسوف تصبح المعادلة هي :
س^2+ص^2=نق^2
بالتالي: س=جذر(25-ص^2)

لاننسى ان قانون مساحة المستطيل في هذا السؤال هو 2س*2ص
بعد ذلك تعويض مباشر بقيمة س في المساحة

د(س)=2(جذر(25-ص^2))*2ص

بعد الاشتقاق: -2ص^2+25=0

اما 5\جذر2 أو -5\جذر2 وبالطبع لا يوجد طول ضلع بالسالب فالموجب هو قيمة ص : أما قيمة س فينتج انها نفس قيمة ص بعد التعويض في معادلة الدائرة


مساحة المستطيل=50