p(n)=n+n*n+41

لماذا هذه العبارة ناتجها دائما عددا أوليا مهما يكن n?

 

 

لاحظ أويلر في عام 1772 أن العبارة :

n² + n + 41

ينتج عنها أعدادا أولية لكل الاعداد الصحيحة الموجبة أقل من 40

الأعداد الاولية الناتجة عن ...........n= 0,1,2,3

هي : 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 61 ، 71 ، ............

و الفرق بين هذه الأعداد هو : 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، ............

و لكن عند ن = 40

40² + 40 + 41 = 40 (40 + 1) + 41 = 40 × 41 + 41 = 41 (40+1)=41²

و هو عدد ليس أولي 1681 = 41 × 41

عبارة مماثلة : n² - n + 41

و هي تعطي أعداد اولية لكل : 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ........، 40 ، 43

و لكنها تفشل عند 41 و 43

و يمكن استخدام الاستقراء الرياضي لاثبات ذلك أو ببساطة استخدام الآلة الحاسبة