تمارين : مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات
تمرين 1
-1 حدد مضاعفات العدد 14 الأصغر من 200
-2 حدد قواسم العدد 1470
في الحالات التالية: b و a -3 حدد المضاعفات المشترآة للعددين
b = و 76 a = د- 46 b = و 14 a = ج- 70 b = و 42 a = ب- 65 b = و 79 a = أ- 37
في الحالات التالية: b و a -4 حدد القواسم للمشترآة للعددين
b = و 67 a = د- 83 b = و 35 a = ج- 72 b = و 80 a = ب- 336 b = و 42 a = أ- 54
تمرين 2
8367 ، 1559 ، 387 ، 407 ، 239 ، -1 هل الأعداد التالية أولية 49
6250 ، 5292 ، 1650 ، -2 فكك الأعداد التالية إلى جداء عوامل أولية 675
تمرين 3
في الحالات التالية: b و a -1 حدد المضاعف المشترك الأصغر للعددين
b = و 35 a = ج- 72 b = و 37 a = ب- 19 b = و 42 a = أ- 27
في الحالات التالية: b و a -2 حدد القاسم المشترك الأآبر للعددين
b = و 35 a = ج- 72 b = و 37 a = ب- 19 b = و 126 a = أ- 81
تمرين 4
علما أن: a, b, c في الحالات التالية حدد الأرقام
23 يقبل القسمة على 3 a -1 العدد 4
23 يقبل القسمة على 3 و لا يقبل القسمة على 9 a -2 العدد 4
23 يقبل القسمة على 3 و على 5 b5c -3 العدد
تمرين 5
n≤m و PGCD(m;n) = عددين صحيحين طبيعيين حيث 24 m و n ليكن
m و n -1 ما هي العوامل الاولية المشترآة للعددين
m و n ثم استنتج PPCM (m;n) فاحسب m.n = -2 إذا علمت أن 3456
تمرين 6
a = 2 3 × 3 2 × نعتبر العدد 7
يقبل 24 قاسم a -1 تأآد أن العدد
مربع آامل (أي مربع عدد صحيح طبيعي) ka حيث k -2 حدد أصغر عدد صحيح طبيعي
مكعب لعدد صحيح طبيعي ma حيث m -3 حدد أصغر عدد صحيح طبيعي
تمرين 7
-1 بين أن مجموع خمسة أعداد صحيحة طبيعية هو عدد صحيح طبيعي يقبل القسمة على 5
عدد صحيح طبيعي a -2 ليكن
مربع آامل a(a+1)(a+2)(a+3)+ بين أن1
تمرين 8
(n+1)2−n -1 أنشر 2
-2 استنتج أن آل عدد فردي يكتب على شكل فرق مربع عددين صحيحين طبيعيين متتاليين.
101 ، 45 ، -3 طبق الاستنتاج السابق على الأعداد 17
http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
تمرين 9
عددا صحيحا طبيعيا n ليكن
3n2 +n 4 و n2 +4n+ و 1 n+ (n+1)+(n+ و (2 n(n+ أدرس زوجية آل من ( 1
تمرين 10
mn عددين صحيحين طبيعيين حيث m و n ليكن
لهما نفس الزوجية m−n و m+n -1 بين أن
m2−n2= -2 حل المعادلة 196
تمرين 11
عددا صحيحا طبيعيا فرديا n ليكن
n=7 ; n=5 ; n =3 ; n = مضاعف للعدد 8 في الحالات التالية 1 n2 − -1 تأآد 1
n مضاعف للعدد 8 آيفما آان العدد الصحيح الطبيعي الفردي n2 − -2 بين أن 1
حلول
تمرين 1
140 ، 126 ، 112 ، 98 ، 84 ، 70 ، 56 ، 42 ، 28 ، 14 ، -1 مضاعفات العدد 14 الأصغر من 200 هي 0
.196 ، 182 ، 168 ، 154
70 ، 49 ، 42 ، 35 ، 30 ، 21 ، 15 ، 14 ، 10 ، 7 ، 6، 5 ، 3 ، 2 ، -2 قواسم العدد 1470 هي 1
.1470 ، 735 ، 490 ، 294 ، 245 ، 210 ، 147 ، 105 ، 98
37 × هي مضاعفات العدد 79 b = و 79 a = -3 أ- المضاعفات المشترآة للعددين 37
b = 42 = 2×3× و 7 a =65=5× ب- 13
65 × المضاعفات المشترآة للعددين 65 و 42 هي مضاعفات 42
14 × هي مضاعفات 5 b = 14 = 2× و 7 a =70= 2×5× ج- 7
22 ×19× هي مضعفات العدد 23 b = 76 = 22 × و 19 a = 46= 2× د- 23
b = 42 = 2×3× و 7 a =54= 2× -4 أ- 32
6 ، 3 ، 2 ، القواسم المشترآة للعددين 54 و 42 هي 1
b = 80 = 24 × و 5 a=336=24×3× ب- 7
16 ، 8 ، 4 ، 2 ، القواسم المشترآة للعددين 336 و 80 هي 1
b = 35 = 5× و 7 a =72= 23× ج- 32
القاسم المشترك الوحيد للعددين 72 و 35 هو 1
عددان أوليان b = و 67 a = د- 83
القاسم المشترك الوحيد للعددين 83 و 67 هو 1
تمرين 2
49 عدد غير أولي لانه يقبل القسمة على 7 -1
172≺239≺ 17 لا تقسم العدد 239 و 232 ،13 ، 11 ، 7 ، 5 ، 3 ، لدينا الاعداد الاولية 2
إذن العدد 239 أولي
.................................................. ..................................
.................................................. ..................................
-2 التفكيك إلى جداء عوامل أولية
6250=2× 55 ، 5292=22×32×72 ، 1650=2× 3×52 ×11 ، 675=33× 52
تمرين 3
b = 42 = 2×3× و 7 a = 27 = -1 أ- 33
2×33 ×7 = هو 378 b و a المضاعف المشترك الأصغر للعددين
b = و 37 a = ب- 19
19×37 = هو 676 b و a المضاعف المشترك الأصغر للعددين
b = 35 = 5× و 7 a =72= 23× ج- 92
35×72 = هو 2520 b و a المضاعف المشترك الأصغر للعددين
b = 126 = 2×32 × و 7 a =81= -2 أ- 34
32 = هو 9 b و a القاسم المشترك الأآبر للعددين
b = و 37 a = ب- 19
هو 1 b و a القاسم المشترك الأآبر للعددين
b = 35 = 7× و 5 a =72= 23× ج- 32
http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
هو 1 b و a القاسم المشترك الأآبر للعددين
تمرين 4
a, b, c نحدد الأرقام
يقبل القسمة على 3 a + 0 و 9 ≤ a ≤ 23 يقبل القسمة على 3 يعني أن 9 a -1 العدد 4
a = أو 9 a = أو 6 a = أو 3 a = ومنه 0
يقبل a + 0 و 9 ≤ a ≤ 23 يقبل القسمة على 3 و لا يقبل القسمة على 9 يعني أن 9 a -2 العدد 4
a = أو 6 a = القسمة على 3 و لا يقبل القسمة على 9 ومنه 3
10 + تقبل القسمة b+c و c ∈{ 0 و { 0;5 ≤ b ≤ 23 يقبل القسمة على 3 و على 5 يعني 9 b5c -3 العدد
على 3
فان c = - إذا آان 0
b = أو 8 b = أو 5 b = 10 + تقبل القسمة على 3 تعني 2 b+c 0 و ≤ b ≤9
فان c = - إذا آان 5
b = أو 9 b = أو 6 b = أو 3 b = 10 + تقبل القسمة على 3 تعني 0 b+c 0 و ≤ b ≤9
تمرين 5
n≤m و PGCD(m;n) = عددين صحيحين طبيعيين حيث 24 m و n ليكن
PGCD(m;n)=24=23×3 -1
هي 2 و 3 m و n العوامل الأولية المشترآة للعددين
m.n = -2 لدينا 3456
PGCD(m;n) = و 24 m.n=PGCD(m;n)×PPCM(m;n)
( ; ) ومنه 3456 144 24 32
24
PPCM m n = = = ×
فان n≤m وحيث أن
( n =23 ×3= و 24 m = 23 ×3×3× 2 = أو ( 144 ( n =23 ×3×2= و 48 m =23 ×3×3=72 )
تمرين 6
a = 2 3 × 3 2 × 7
يقبل 24 قاسم a -1 نتأآد أن العدد
يقبل 24 قاسم a إذن العدد a = 2 3 × 3 2 × 7=24×(3×7)
مربع آامل (أي مربع عدد صحيح طبيعي) ka حيث k -2 نحدد أصغر عدد صحيح طبيعي
k = 2 و منه 14 ×7×a = 2 4 × 3 2 × 72= (22×3×7) ومنه 2 a = 2 3 × 3 2 × لدينا 7
مكعب لعدد صحيح طبيعي ma حيث m -3 نحدد أصغر عدد صحيح طبيعي
k = 3 و منه 147 ×72×a = 2 3 × 3 3 × 73 =(2×3×7) ومنه 3 a = 2 3 × 3 2 × لدينا 7
تمرين 7
-1 نبين أن مجموع خمسة أعداد صحيحة طبيعية هو عدد صحيح طبيعي يقبل القسمة على 5
عدد صحيح طبيعي a ليكن
a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)=5a+10=5(a+2)
يقبل القسمة على 5 a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+ فان (4 (a+ ∋( 2 وحيث أن
http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
عدد صحيح طبيعي a -2 ليكن
مربع آامل a(a+1)(a+2)(a+3)+ نبين أن1
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
2 2
4 3 2
4 3 2 2
4 2 2
2 2
1 2( 3) 1 5 6 1
6 11 6 1
6 2 9 6 1
2 3 1 3 1
3 1
a a a a a a a a
a a a a
a a a a a
a a a a
a a
+ + + + = + + + +
= + + + +
= + + + + +
= + + + +
= + +
مربع آامل a(a+1)(a+2)(a+3)+ إذن 1
تمرين 8
(n+1)2 −n -1 ننشر 2
(n+1)2 −n2=n2+2n+1−n2=2n+1
-2 نستنتج أن آل عدد فردي يكتب على شكل فرق مربع عددين صحيحين طبيعيين متتاليين.
من n مهما آانت (n+1)2 −n2 =2n+ لدينا 1
إذن آل عدد فردي يكتب على شكل فرق مربع عددين صحيحين طبيعيين متتاليين
101 ، 45 ، -3 طبق الاستنتاج السابق على الأعداد 17
101= 2×50 +1= 512−502 ; 45 = 2×22 +1= 232− 222 ; 17 = 2×8+1= 92−82
تمرين 9
عددا صحيحا طبيعيا n ليكن
3n2 +n 4 و n2 +4n+ و 1 n+ (n+1)+(n+ و (2 n(n+ ندرس زوجية آل من ( 1
عددان صحيحان طبيعيان متتاليان ومنه أحدهما زوجي و الآخر فردي n + و 1 n * -1
زوجي n(n+ و التالي جداؤهما زوجي إذن ( 1
n + هي زوجية 1 n+(n+1)+(n+ و التالي زوجية (2 n+ (n+1)+(n+2)=3(n+ * لدينا (1
فرديا n+ (n+1)+(n+ زوجيا فان (2 n إذا آان
زوجيا n+ (n+1)+(n+ فرديا فان (2 n إذا آان
4 زوجي n2 +4n+ 2) فان 1 n2+2n)∈ 4 و حيث أن n2+4n+1=2(2n2+2n)+ * لدينا 1
3n2 +n=n(n+ * لدينا (3
عدد زوجي n(n+ ليس لهما نفس الزوجية أي احدهما فردي و الآخر زوجي ومنه ( 3 n + و 3 n
3 زوجي n2 +n اذن
تمرين 10
mn عددين صحيحين طبيعيين حيث m و n ليكن
لهما نفس الزوجية m−n و m+n -1 نبين أن
يمكن أن يكون زوجيا أو فرديا (m−n) العدد
2 لطرفي المتفاوتة n بإضافة m−n= 2k حيث من k زوجيا فانه يوجد (m−n) * إذا آان
زوجي m+n فان k+n∈ وحيث أن m+n=2k+2n=2(k+n) نحصل على
2 لطرفي المتفاوتة n بإضافة m−n=2k+ حيث 1 من k فرديا فانه يوجد (m−n) * إذا آان
فرديا m+n فان k+n∈ وحيث أن m+n=2k+2n+1=2(k+n)+ نحصل على 1
لهما نفس الزوجية m−n و m+n إذن
http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
m2−n2= -2 نحل المعادلة 196
(m−n)(m+n)=22× تكافئ 72 m2−n2=196
زوجيان m−n و m+n و حيث 196 زوجي فان
ومنه
2
98
m n
m n
− =
+ =
أو
14
14
m n
m n
− =
+ =
إذن
50
48
m
n
=
=
أو
14
0
m
n
=
=
تمرين 11
عددا صحيحا طبيعيا فرديا n ليكن
n=7 ; n=5 ; n =3 ; n = مضاعف للعدد 8 في الحالات التالية 1 n2 − -1 تأآد 1
................................
n مضاعف للعدد 8 آيفما آان العدد الصحيح الطبيعي الفردي n2 − -2 بين أن 1
n=2k+ حيث 1 من k عدد صحيح طبيعي فردي أي يوجد n ليكن
n2 −1=4k(k+ ومنه ( 1 n2 −1=(n−1)(n+ لدينا (1
عدد زوجي (لأنه جداء عددين متتاليين) k(k+ وحيث أن ( 1
n2 −1=8k' و بالتالي k(k+1) =2k' حيث من k ' فانه يوجد
مضاعف للعدد 8 n2 −
16-10-2007, 02:13 AM
تمارين : مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و م
العرض العادي
