هندسة الدائرة



إعداد
الموجه الفني أ . منصور الخولي

إشراف
أ .حسين على عبدالله
موجه اول الرياضيات – منطقة العاصمة التعليمية







تعريف :
الدائرة هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على أبعاد متساويه
من نقطة ثابتة فى المستوى.

*تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة.
*يسمى البعد الثابت طول نصف القطر.

نصف قطر الدائرة: قطعة مستقيمة طرفاها مركز الدائرة واحدى نقاط الدائرة.
وتر الدائرة: قطعة مستقيمة طرفاها نقطتين مختلفتين من نقاط الدائره.
قطر الدائرة : هو وتر فى الدائرة يمر بمركزها.
تطابق دائرتين : يقال لدائرتان أنهما متطابقتان إذا تساوى طولا نصف قطريهما.

يلاحظ أن:
1- الدائره تجزئ مجموعة نقاط المستوى إلى ثلاث مجموعات هى :-
أ) مجموعة نقاط الدائرة
ب) مجموعة نقاط داخل الدائرة
ج) مجموعة نقاط خارج الدائرة
2- مجموعة النقاط داخل الدائرة اتحاد مجموعة نقاط الدائرة تسمى منطقة دائرية.
3- كل مستقيم يمر بمركز الدائرة هو محور تماثل لها.

موضع نقطة بالنسبة لدائرة :
لمعرفة موضع نقطة بالنسبة لدائرة طول نصف قطرها نق نعين البعد بين النقطة ومركز الدائرة وليكن ل فإذا كانت
1. ل < نق كانت النقطة خارج الدائرة.
2. ل = نق كانت النقطة هى احدى نقاط الدائرة ، تقع على الدائرة.
3. ل > نق كانت النقطة داخل الدائرة.

موضع مستقيم بالنسبة لدائرة :
لمعرفة موضع مستقيم بالنسبة لدائرة طول نصف قطرها نق نعين بعد مركز الدائرة عن المستقيم وليكن ل فإذا كان
1. ل < نق كان المستقيم يقع خارج الدائرة.
2. ل = نق كان المستقيم مماس للدائرة.
3. ل > نق كان المستقيم قاطع للدائرة.
والعكس صحيح ...

( 1 )
موضع دائرة بالنسبة لدائرة أخرى :
ليكن نق1 ، نق2 طولا نصفي قطري دائرتين ، ل هو البعد بين مركزى الدائرتين
تكون
1. الدائرتان متحدتا المركز إذا كان ل = صفر.
2. الدائرتان متباعدتان إذا كان ل < نق1+ نق2.
3. الدائرتان متداخلتان إذا كان ل > نق1- نق2 . ( حيث نق1 < نق2)
4. الدائرتان متماستان من الخارج إذا كان ل = نق1 + نق2. ( مماس مشترك)
5. الدائرتان متماستان من الداخل إذا كان ل = نق1 – نق2. ( حيث نق1 < نق2)
6. الدائرتان متقاطعتان إذا كان نق1 – نق2 > ل > نق1 + نق2 .

الدائرة الخارجة لمثلث :
هى دائرة مارة برؤو س المثلث .
(ملاحظة : يوجد تعريف آخر للدائرة الخارجة لمثلث.)
الشكل الرباعى الدائرى:
إذا مرت دائرة برؤوس شكل رباعى سمى الشكل (شكل رباعى دائرى).

القوس:
بفرض أ ، ب نقطتان منتميتان إلى دائرة مركزها م فإن مجموعة نقاط الدائرة والتى تبدأ من النقطة أ وتنتهى عند النقطة ب أو العكس تسمى قوسا فى الدائرة ويرمز لها بالرمز.








أ ب أ جـ ب
القوس الأصغر القوس ألأكبر

إذا كان أ ب قطر فإن أ ب يسمي نصف دائرة




( 2 )






القطر ، الوتر:
1- قطر الدائرة المار بمنتصف وتر يكون عمودياً على هذا الوتر.


2- قطر الدائرة العمودى على وتر فيها ينصف هذا الوتر.




3-المستقيم العمودى على وتر فى الدائرة من منتصفه يمر بمركز الدائرة.


ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
المماس:
1- نصف قطر الدائرة عمودى على المماس.



2- المستقيم العمودى على نصف قطر الدائرة عند نقطة نهايته التى تنتمى للدائرة يكون
مماساً لهذه الدائرة عند هذه النقطة.





خط المركزين:
1- خط المركزين لدائرتين متقاطعتين عمودى على الوتر المشترك وينصفه.


( 3 )


2- إذا كانت الدائرتان متماستان من الخارج أو من الداخل فإن خط المركزين يكون عمودياً على المماس المشتترك لهما.







ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ
تعيين الدائرة:
كل ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تمر بها دائرة واحدة.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــ
الأوتار ، مركز الدائرة:
1- الأوتار المتساوية الطول فى دائرة تكون على أبعاد متساوية من مركزها
( إذا كان أ ب = س ص فإن م جـ = م ع)




2- فى الدوائر المتطابقة : الأوتار المتساوية الطول تكون على أبعاد متساوية من المركز.
3- فى الدائرة الواحدة أو فى الدوائر المتطابقة الأوتار التى على أبعاد متساوية من المركز تكون متساوية الطول.

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ

• الزاوية المركزية : هي زاوية رأسها مركز الدائرة
• الزاوية المحيطية : هي زاوية ينتمي رأسها للدائرة وتحصر بين ضلعيها
قوسا من الدائرة
* قياس القوس : هو قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس
يلاحظ أن قياس القوس لا يعني طول القوس

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــــــ

( 4 )
نتائج :
1 ) في الدائرة الواحدة ( أو في الدوائر المتطابقة ) إذا تساوي قياسا قوسين
فإنهما يتساويان في الطول .
2 ) في الدائرة الواحدة ( أو في الدوائر المتطابقة ) إذا تساوي قياسا قوسين
فإن وتريهما يكونا متساويين في الطول
3 ) الوتران المتوازيان في دائرة يحصران قوسين متساويين في القياس
4 ) القوسان المحصوران بين وتر ومماس للدائرة يوازي الوتر متساويان في
القياس
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،

نظرية :
قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المرسومتان
علي قوس واحد

نتيجة : الزاوية المحيطية المرسومة علي قطر الدائرة قائمة
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،

نظرية :
في الدائرة الواحدة الزوايا المحيطية المرسومة علي نفس القوس متطابقة


نتيجة : في الدائرة الواحدة أو في الدوائر المتطابقة الزوايا المحيطية التي
تحصر أقواسا متساوية في القياس تكون متساوية في القياس .
والعكس صحيح
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،

نظرية :
إذا تساوي قياسا زاويتين مرسومتين علي قاعدة واحدة وفي جهة واحدة منها
فإنه يمر برأسيهما دائرة واحدة تكون هذه القاعدة وترا فيها

نتيحة : إذا تساوت قياسات عدة زوايا مرسومة علي قاعدة واحدة وفي جهة واحدة منها فإن رءوسها تقع علي دائرة واحدة

نتيجة : الشكل الرباعي الذي فيه زاويتان مرسومتان علي أحد أضلاعه ورأسيهما رأسان في الشكل ومتطابقتان يكون شكلا رباعيا دائريا
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
( 5 )
المماسات والزوايا المماسية :

نظرية : القطعتان المماستان لدائرة والمرسومتان من نقطة خارجها متطابقتان

نتيجة : 1 ) المستقيم المار بمركز دائرة ونقطة تقاطع مماسين لها يكون محورا لوتر
التماس لهاذين المماسين.
2 ) المستقيم المار بمركز دائرة ونقطة تقاطع مماسين لها ينصف الزاوية
بين هذين المماسين وينصف الزاوية بين نصفي القطرين المارين بنقطتي
التماس .
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ

تعريف : الدائرة الداخلة لمثلث ( أو مضلع ) هي الدائرة التي تمس أضلاعه جميعها
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ
تعريف :
الزاوية المماسية هي زاوية رأسها إحدي نقاط الدائرة وأحد ضلعيها نصف
مماس للدائرة والآخر يحمل وترا فيها .

• قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس القوس المحصور بين ضلعيها.

نظرية :
قياس الزاوية المماسية يساوي قياس الزاوية المحيطية المرسومة علي
وتر التماس من الجهة الاخري
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ













( 6 )
مثال :
دائرة مركزها م ، أ ب ، جـ د وتران في الدائرة بحيث أ ب // جـ د

، ب هـ = جـ و . اثبت أن أ هـ // و د





مثال : ↔
مـ ، ن دائرتان متماستان من الخارج في نقطة أ ، ب جـ مماس
للدائرتين في ب ، جـ . رسم ب أ فقطع الدائرة ن في د ، رسم
جـ أ فقطع الدائرة مـ في هـ .
اثبت أن ب هـ قطر للدائرة مـ ، جـ د قطر للدائرة ن









تدريب :
أ ب جـ مثلث فيه أ ب = 5 سم ، ب جـ = 6 سم ، أ جـ = 7 سم
رسم ب د ┴ أ جـ ويقطعه في د ، رسم جـ هـ ┴ أ ب ويقطعه
في هـ . اثبت أن النقط هـ ، ب ، جـ ، د تمر بها دائرة واحدة
وعين مركزها وطول نصف قطرها.




( 7 )

 

 

شرح ممتاز بس المشكلة ما ظهرت الرسوم والأشكال
أعتقد أنه لازم تدرج الرسوم ليكتمل الشرح
تمنياتي لك بالتوفيق مع تحياتي من سوريا

 

 

جزاكم الله خيراً على ما تقدموه من معلومات و جعله في موازين حسناتكم.

 

 

بارك الله فيك اخى الكريم

 

 

بارك الله فيكم وما تفيدون بة زوار المنتدى ولكن عندى سؤال اريد من ذو العلم ان يفيدونى فية وهو ...ماهو تعريف الزاوية المركزية؟
هل هو الزاوية التى راسها مركز الدا ئرة فقط
او...الزاوية التى راسها مركز الدائرة وكل من ضلعيها يحمل نصف قطر الدائرة
ارجوا التوضيح