منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة - مسابقة أجمل حل

15-02-2009, 09:05 PM

السلام عليكم و رحمة الله
1/ ايجاد التكامل : ${I}_{1}=\int \frac{dx}{cosx}$
لدينا:
$\frac{1}{cosx}=\frac{cosx}{{cos}^{2}x}=\frac{cosx}{1-{sin}^{2}x} =\frac{1}{2}\left<\frac{cosx}{1-sinx}+\frac{cosx}{1+sinx} \right>$
و منه التكامل يصبح على النحو التالي:
${I}_{1}=\frac{1}{2}\left[\int \frac{cosx}{1-sinx}dx+\int \frac{cosx}{1+sinx}dx \right]=\frac{1}{2}\left[-ln(1-sinx)+ln(1+cosx) \right]+C$
و عليه:
${I}_{1}=ln\left(\sqrt{\frac{1+cosx}{1-sinx}} \right)+C=ln\left(\left|tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right| \right)+C$
2/ حل التكامل العام: ${I}_{n}=\int \frac{dx}{{cos}^{n}x}$
${I}_{n}=\int \frac{dx}{{cos}^{n}x}=\int \left(\frac{{cos}^{2}x+{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x} \right)dx={I}_{n-2}+ \int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}dx$
$\int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}dx=\int sinx.\frac{sinx}{{cos}^{n}x}dx$
نستعمل التكامل بالتجزئة:
$u=\frac{sinx}{{cos}^{n}x}\Rightarrow {u}^{'}=\frac{1}{{cos}^{n-1}x}+\frac{{sin}^{3}x}{{cos}^{n+1}x}$
${v}^{'}=cosx\Rightarrow v=sinx$
و بعد التعويض و التبسيط نجد
$\int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}=\frac{1}{(n-1)}\left[\frac{sinx}{{cos}^{n-1}x}-{I}_{n-2} \right]$
و في الأخير نحصل على العلاقة التراجعية التالية: من أجل $n\geq 2$
${I}_{n}=\frac{sinx}{(n-1){cos}^{n-1}x}+\left(\frac{n-2}{n-1} \right){I}_{n-2}$