تمهيدية (1) :
لنفترض أن (x,y,z) ثلاثي فيثاغورث أولي أي 1=(x,y,z)
أثبت أن الأعداد x,y,z هي أولية نسبياً مثنى مثنى .

تمهيدية (2) :
إذا كان (x,y,z) ثلاثي فيثاغورث وكان x,y,z)= d)
فإن (x₀,y₀,z₀) هو ثلاثي فيثاغورث أولي حيث :
x=x₀d , y=y₀d , z=z₀d

تمهيدية (3) :
إذا كان ثلاثي فيثاغورث (x,y,z) أولياً
فإن أحد العددين x,y فردي والآخر زوجي .

تمهيدية (4) :
إذا كان ab=cⁿ حيث 1=(a,b)
فإنه يوجد a₁,b₁ بحيث
a=a₁ⁿ
b=b₁ⁿ

مبرهنة :
إن جميع الحلول الصحيحة غير الصفرية لمعادلة فيثاغورث
x²+y²=z² حيث y عدد زوجي و 1=(x,y,z) تعطى بالعلاقات :
(x=(r²-s²
y=2rs
(z=(r²+s²
حيث r,s أعداد صحيحة غير صفرية و 1 =(s,r) ,
s,r أحدهما فردي والآخر زوجي .
(نحصل على جميع ثلاثيات فيثاغورث بأن نضرب قيم x,y,z بالعدد الصحيح الغير صفري k) .


أثبت التمهيديات والمبرهنة السابقة بالاستفادة من :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=4102