السلام عليكم ورحمة الله ويركاته

(أ + ب + جـ)^3=0

(أ+ب)3 + 3جـ (أ+ب)^2+ 3 جـ2 (أ+ب) + جـ3 = 0

أ 3 + 3 ب أ2 + 3 أ ب2 + ب3 + جـ3 + 3 جـ (أ+ب) ( أ+ب+جـ) =0

أ3+ب3+جـ3 +3أ ب( أ+ب) =0 بوضع أ + ب = - جـ

أ3 + ب3+ جـ3 = 3 أ ب جـ

المسألة صالحة أيضاً قى مجال الأعداد المركبة

حيث أن مجموع الأعداد الثلاثة = صفر
فيمكن إعتبارها الجذور التكعيبية العدد الحقيقى س3

وبقرض أن الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هى 1 & ع & ع2 حيث ع3=1
يمكن التعويض عن الأعداد الثلاثة كما يلى : أ = س & ب = س ع & جـ = س ع2

الطرف الأيمن = أ3 + ب3 + جـ3 = س3 + س3 ع3 + س3 ع6 = س3(1+1+1) = 3 س3
الطرف الأيس = 3 أ ب جـ = 3 س × س ع × س ع2 = 3 س3 ع3 = 3س3