منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

24-08-2007, 05:56 PM

باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لثلاثة أعداد : $x+y+z \ge 3(xyz)^{\frac{1}{3}}$

وبما أن $xyz=x+y+z$ فإن $xyz \ge 3(xyz)^{\frac{1}{3}}$

إذن : $(xyz)^{\frac{2}{3}}\ge 3$

ومنه : $xyz \ge 3^{\frac{3}{2}}$ ولتكن هذه المتفاوتة $1$

من جهة أخرى وباستخدام دائما متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي :

$x^t+ y^t+ z^t\ge 3\sqrt[3]{{x^t y^t z^t }}$

أي : $x^t+ y^t+ z^t\ge 3(xyz)^{\frac{t}{3}}$

وباستخدام المتفاوتة $1$ نتوصل إلى : $x^t+ y^t+ z^t\ge 3 \times (3^{\frac{3}{2}} )^{\frac{t}{3}}$

وبالتالي : $x^t+ y^t+ z^t\ge 3 \times 3^{\frac{t}{2}}= 3^{\frac{{t + 2}}{2}}$