مسابقة رياضيات

19-04-2009, 09:49 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

أنا عضو جديد بمنتداكم الرائع الذي أرجوا أن أجد فيه ضالتي مثل بعض المنتديات الرائعة الأخرى و هو التعلم من أساتذتنا الكبار

هذان سؤالان إجتزتهما في مسابقة رياضيات بالجزائر (مستوى أولى ثانوي) و أرجوا مساعدتي بالحل و سأكون ممنونا لكم...
أحسب العدد الصحيح س الذي يحقق العلاقة:

$x + \sqrt{x+2} + \sqrt{1 + \sqrt {x+2}} = 4038$

اقتباس :

س+ جذر (س+2)+ جذر(1+جذر(س+2))=4038 (وجدت الناتج 3967 لكني غير متأكد من الطريقة)

سؤال آخر:

$x \in \mathbb{R}$ ، حيث $0 < x < \frac {\pi}{2}$

اقتباس :

x عدد حقيقي أكبر تماما من الصفر و أصغر من Pi/2

أثبت أن: $\sin x \le x \le \tan x$

اقتباس :

x أكبر أو تساوي sin x و أصغر أو تساوي Tg x

آسف على المستوى الرديئ لطرح الأسئلة
أرجوا تقديم رأيكم حول مستوى الأسئلة و شــكرا

19-04-2009, 10:00 PM

هذه أول مشاركة لك، بارك الله فيك،

نود استمرارك، حاليا إنه وقت متأخر من الليل عندنا،

لذا سأحاول بها لاحقا.

19-04-2009, 10:13 PM

أعتقد أن الثانية موجودة في :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3728

20-04-2009, 12:02 AM

شكـــــــــــــرا جزيلا لك أستاذي ماث سن

يوما بعد يوم يزداد إعجابي بك

بارك الله فيك

20-04-2009, 02:52 PM

لم لا تضع فكرتك للسؤال الأول؟
على كل لدي فكرة جيدة، وسأضع تلميحا لها،
ما رأيك لو قمنا بحصر قيم $\sqrt{1 + \sqrt{x+2}}$ ؟

20-04-2009, 05:57 PM

لا بأس سأضع فكرتي التي حللت بها المعادلة مع أني لست متأكدا من صحتها
أرجوا أن تضع أنت فكرتك
بالنسبة للسؤال الأول فقد فهمت الحل لكن في المستوى 1 ثانوي في الجزائر لا ندرس الإشتقاق
و شكــرا

20-04-2009, 06:16 PM

فكرتي بسيطة و هي إضافة 2 للطرفين و نضع: جذر(س+2)=أ
فتصبح المعادلة:
أ²+أ+جذر(أ+1)=4040
نحللها إلى جداء عاملين:
(جذر(أ+1))(أ(جذر(أ+1))+1)=4040
من الواضح أن القيم السالبة مرفوضة و منه العوامل طبيعية
و نرفض كل الحالات لأنها تؤدي لقيم مختلفة ل أ إلا حالة واحدة التي فيها:
جذر(أ+1)=8 و أ(جذر(أ+1))+1=505 فنجد أ=63 و س=3967
هل تعتبر الطريقة مقبولة أم لا

20-04-2009, 07:23 PM

فكرتك رائعة بالفعل، ها هي فكرتي:

الخطوة (1):

لو فرضنا أن $x\le 3000$ فإن:

$x + \sqrt{x + 2} + \sqrt{1 + \sqrt{x+2}} \le 3000 + \sqrt{3000+2} + \sqrt{1 + \sqrt{3000 + 2}} <3000 + 60 + 8 = 3068 <4038$

وهنا تناقض، أي أن $x>3000$ ، نستنتج أن:

$x>3000 \Rightarrow x + 2 > 3002 \Rightarrow \sqrt{x+2}> 50 \Rightarrow \sqrt{x+2}+1 > 51 \Rightarrow \sqrt{1+\sqrt{x+2}}\ge 8$

الخطوة (2):

واضح أن $x < 4038$ ، بالتالي:

$x+2 < 4040 \Rightarrow \sqrt{x+2} < 65 \Rightarrow \sqrt{1 + \sqrt{x+2}} <9$

من الخطوة (1) ، الخطوة (2) نجد أن:

$\sqrt{1+\sqrt{x+2}} = 8 \Rightarrow x=3967$

.

وهو المطلوب.

(سأحاول حل الثانية بدون اشتقاق).

20-04-2009, 08:03 PM

الله عليك...........
إبداع رهيب....
بارك الله فيك
في إنتظار الثانية

20-04-2009, 08:20 PM

إليك حل الثانية بدون اشتقاق.

نرسم دائرة نصف قطرها 1، $AC \perp BO$ ، $BA \perp OA$ ، نفرض أن $\angle O = x$ .

الآن:

$\sin x = CD , \cos x = OD, \tan x = AB$

(1 مساحة المثلث $OAC$ تحسب كالتالي:

$\frac 12 OA \times CD = \frac 12 \sin x$

2) مساحة المثلث $OAB$ تحسب كالتالي:

$\frac 12 OA \times AB = \frac 12 \tan x$

3) مساحة القطاع $OAC$ تحسب كالتالي:

$\frac 12 x$

من (1) ، (2) ، (3) و من مطالعة الرسم نجد:

$\frac 12 \sin x < \frac 12 x < \frac 12 \tan x$

ومنه ينتج المطلوب.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة