أوجد د(2009) (ألمبياد موريتانيا)

04-04-2009, 08:39 PM

إذا كانت $f:N\to N$ تحقق الشرطين:
1) لكل $n\ge 0$ فإن $f(n+1) > f(n)$ .
2) لكل $m,n \ge 0$ فإن $f(n+f(m)) = f(n)+m+1$ .

أوجد قيمة $f(2009)$ .

05-04-2009, 05:28 PM

مسألة بسيطة جدا ...

ننتظر مشاركات الشباب .

05-04-2009, 06:16 PM

السلام عليكم و رحمة الله
الدوال التي تحقق الشروط السابقة هي الدوال من الشكل: $f(n)=n+1$ .
و هذه خطوات الحل
من الشرط (1) نجد (البرهان بالتراجع)، من أجل $n\in \mathbb{N}$ ، $f(n)\geq f(0)+n$ .
من الشرط (2) بوضع: $n=kf(0),m=0$ نجد: $f((k+1)f(0))=f(kf(0))+1$
و باستعمال البرهان بالتراجع نبين أن:
$f(kf(0))=f(0)+k............(3)$
من (1) نجد: $f(0)+k=f(kf(0))\geq f(0)+kf(0)$
$\Rightarrow kf(0)\leq k\Rightarrow f(0)\leq 1$
و منه $f(0)=1$ (لأن $f(0)=0$ تؤدي إلى تناقض)
و منه بالتعويض في العلاقة (3) نجد: $f(k)=k+1$
$f(2009)=2009+1=2010$

11-05-2009, 10:29 PM

يمكن إستعمالها بدون ترجع


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة