حل رائع جدا

 

 

السلام عليكم
اسفة كان جوابي ناقص فللمعادلة :

3 ر2 –10 ر + 3 = 0
حلان : اما ر = 3 وبالتالي ب = 2 فالمتتالية هي 2 , 6 , 18
او : ر = 1/3 وبالتالي ب = 18 فالمتتالية هي 18 , 6 , 2

شكرا استاذ يوسف لان من جوابك انتبهت
مع تحياتي للجميع

 

 

السلام عليكم
لتكن Un هذه المتتالية بحيث :
U0=x ,U1=y , U2=z
و x+y+z=26
x^2+y^2+z^2=364
بما أن Un متتالية هندسية حدها الاول هو x و أساسها q
اذن :
Un=q*Un-1
ومنه : x=q*y و z=q*y=q^2*x
أي :
x(1+q+q^2)=26 و x^2(1+q^2+q^4)=364
مع أن (q^2+q^4+1)=(1+q^2-q)(1+q+q^2)
فان : 26x*(1-q+q^2)=364 أي x(1+q^2-q)=14 ومنه
xq=6 أي y=6 وبالتالي :z=6q و x+z=20
ومنه : xz=36 و x+z=20 أي أن xو z هما حلا المعادلة :
t^2-20t+36=0 مميز المعادلة هو 256 و بالتالي x=20-16/2 و z=20+16/2
ومنه x=2و y=6 و z=18 و q=3

ملاحظة :
364=4*91=4*(81+10)=4*(9+1+81)=4*(1+3^2+9^2)=(2*3)^ 2+)2*9)^2+2^2
وحدانية التفكيك في المجموعة N| تضمن لنا على ان :x^2+y^2+z^2=2^2+18^2+6^2 اذن يكفي أن نختار قيمة x و yو z ونتحقق أن 18+6+2=26

 

 

فيصل

في منتديات الرياضيات العربية

على الحل المختلف و الجميل

 

 

أ + أ ر + أ ر2 = 26 أ(1 + ر + ر2 ) = 26 ------ (1)
أ2 + أ2 ر2 + أ2 ر4 = 364 أ2( 1 + ر2 + ر4) = 364
أ2( 1+ر+ر2)(1-ر+ر2) = 364 -------------------------(2) بتربيع(1) والقسمة على(2) ينتج أن : 3ر2 -10 ر +3 = 0 ( 3ر-1)(ر+3) = 0 ونكمل