ثلاثيات فيثاغورس Pythagorean Triples .. .

 

 

	ثلاثيات فيثاغورس هي عبارة عن الحلول الصحيحة الموجبة للمعادلة ، سنثبت أن معطاة بالصيغة التالية : .. .

 

 

	الـــبــرهــــان : • بداية ، فإنه إذا كان هناك عامل مشترك r بين x,y,z فإننا نقوم بقسمة المعادلة عليه لنحصل على المعادلة : حيث a,b,c أولية نسبياً لبعضها ، و كذلك فإن a,b أوليان نسبياً ، لأنه لو كان هناك عامل مشترك p ، لكان عاملاً لـ c أيضاً لأن وكذلك فإن a,c و b,c أوليان نسبياً بنفس الطريقة . .. .

 

 

	• إن a,b ليسا بنفس الزوجية .. أي ليسا فرديين معاً أو زوجيين معاً . إذا فرضنا أن a,b فرديان فإن : أي أن مربع c ضعف عدد فردي ، أي أنه ليس مربعين كاملاً . كذلك فإن a,b ليس زوجيين معاً لأنه أوليان نسبياً . وينتج من ذلك أن c عدد فردي . .. .

 

 

	لنفرض - دون فقد للعمومية - أن a عدد فردي وb عدد زوجي ، ونعلم أن c فردي دائماً .. وبذلك فإن كلاً منa+c و a-c عددان زوجيان ، لذا لنعرف : يمكن الملاحظة من خلال المعادلتين أن u,v أوليان نسبياً لأن a,c أوليان نسبياً . بحل المعادلتين من أجل a وc فإن : .. .

 

 

	لإيجاد b فإننا نوجد uv : ولكن b عدد زوجي ، لذا فإن عدد صحيح . لكن بملاحظة أن u,v أوليان نسبياً .. فإنه إذا كان عدد p يقسم أحدهما .. فلا بد أن يقسمه أيضاً ، وهذا يؤدي إلى أن u,v مربعان كاملان ولذلك نعرف .. .

 

 

	لذلك بإعادة كتابة المعادلات باستخدامt,s : حيث t < s ، وهما أوليان نسبياً وليس فرديين بالتزامن . وهذا هو الحل العام للثلاثيات الأولية نسبياً . وبضرب كل متغير بـ r ، فإننا نحصل على المعادلات المذكورة في بداية الموضوع . .. .

 

 

	المصدر : أضغط هنا الله الموفق

 

 

	* مبرهنة فيثاغورث * أضغط هنا .. .