الكم:
إن دراسة الكم من الأعداد, التي تطورت تدريجياً تزامنا مع تطور استخداماتها ابتداءً من الأعداد الطبيعية ثم الأعداد الصحيحة على الأعداد العادية و الحقيقية التي تستخدم لتمثيل الكميات المستمرة.إن دراسة الأعداد الطبيعية يقودنا إلى تشكيل مفاهيم العد باتجاه اللانهاية. في حين أن دراسة الأعداد الصحيحة و خواصها هو موضوع نظرية الأعداد التي تعطي نتائج كثيرة و هامة مثل نظرية فيرما الأخيرة.

البنى:
معظم الكائنات الرياضية مثل المجموعات و التوابع تقبل بنى داخلية, تعرف خواصها من دراسة الزمر و الحلقات و الحقول و البنى المجردة الأخرى التي هي بذاتها كائنات جديدة و هذا ما يختص به الجبر المجرد. إن أحد المفاهيم المهمة هنا هو المتجهات التي تم تعميمها إلى الفضاءات المتجهية التي تدرس في الجبر الخطي. إن دراسة المتجهات تربط ثلاثة مجالات أساسية في الرياضيات هي: الكم و البنية و الفضاء. و التحليل المتجهي يمدد تلك المجالات إلى أربعة بإضافته لمجال التحولات.



الفضاء:
تعود دراسة الفضاءات إن الهندسة و بالتحديد على الهندسة الاقليدية. تربط المثلثات بين الأعداد و الفضاء و تشمل ضمنها نظرية فيثاغورس. و الدراسة الحديثة للفضاءات تعمم هذه الأفكار لتحتوي الهندسة متعددة الأبعاد و الهندسة اللااقليدية (التي تلعب دورا هاما في النسبية العامة) و الطبولوجيا.
يلعب الكم و الفضاء دورا أساسيا في الهندسة التحليلية و الهندسة التفاضلية و الهندسة الجبرية إن مفاهيم مثل و تحليل . في حين تحتوي الهندسة الجبرية وصف الكائنات الهندسية كحلول لعادلات كثير حدود و تربط مفاهيم الكم و الفضاء و أيضا دراسة الزمر الطبولوجية التي تربط البنى و الفضاءات. إن زمرة لي تستخدم في دراسة الفضاءات و البنى و التحولات.
إن الطبولوجيا بمعظم نتائجها كانت و لا تزال أكثر فروع الرياضيات تطورا في القرن العشرين و هي تتضمن نظرية بوينكاريه و نظرية الألوان الأربعة المثيرة للجدل حيث تم برهانها بواسطة الحاسب و لم يتم برهانها من قبل الرياضيين.

التحولات:
إن فهم ووصف التحولات هو مظهر مشترك بين جميع العلوم الطبيعية و لقد تطور حساب التكامل و التفاضل باعتباره أداة قوية في دراسة التحولات.
و تعد التوابع المفهوم الرئيسي الذي يصف تحولات الكمية. إن دراسة التوابع الحقيقية تعرف باسم التحليل الحقيقي و تعد فرضيات ريمان أكثر المسائل الأساسية المفتوحة في الرياضيات و هي مستنتجة من التحليل المركب.
كما أن التحليل التابعي يركز الانتباه على فضاءات التوابع النموذجية ذات الأبعاد غير المنتهية. و إحدى أهم التطبيقات للتحليل التابعي هو ميكانيكا الكم. عن معظم المسائل تقودنا إلى علاقات بين الكمية و معدل التغيير و هذه هي دراسة المعادلات التفاضلية.

 

 

[هندسة طموحة]

معلومات جميلة بورك فيك