قبل أن أناقشك فيما ذكرت ..

ما هو التعريف الرياضي الدقيق لـ ln x ؟

 

 

اولا هناك خطا في المعادلة الاخيرة

وهي كالاتي



وليست y كما ظهرت

تعريفي حسب ما افهمه :
اللوغارتم لو س هو الدالة العكسية للدالة هـ^س وهما متناظران على المحور ص=س

فان صورة هـ^ص=س هي ص=لو(س)

على فكرة انا متطفل على الرياضيات فهي بعيدة عن تخصصي ولست الا مبتدي في بحر علوم الرياضيات

 

 

الأخ المحترم ..

اقتباس :

اللوغارتم لو س هو الدالة العكسية للدالة هـ^س

مع أن هذا ليس التعريف "المتعارف" للوغاريتم إلا أنه صحيح ..

وهو يفي بالغرض ..


لأنه لو كان اللوغاريتم معرفاً على عدد سالب لما أصبحت دالة متباينة (one to one ) .. وبالتالي لا يوجد لها معكوس .

بعبارة أخرى .. لا يمكن أن يكون e^x عدد سالباً .. لذا لا يوجد لوغاريتم لعدد سالب .



نأتي إلى كلامك السابق ..

اقتباس :

في المعادلة السابقة لاحظ ان جميع قيم (س) تنتج العدد (هـ) حتى ولو كانت سالبة ... وهذا دليل ان ذلك الشرط تم وضعه فقط ليتماشى مع منحنى اللوغاريتم ولم يكن من شروط استنتاج المشتقة ... وهذا الذي لم اقبله وسميته تحايل

أولاً :: المعادلة الأخيرة غير صحيحة .. بل الصحيح أن نهاية ذلك المقدار عندما تؤول x∆ إلى الصفر تعطي e .

ثانياً :: لم توفق في طرح ما تريد ، لأن الناتج سيكون e - كما قلت - وهو عدد موجب وأخذ لوغاريتم عدد موجب جائز .

ثالثاً :: الشرط x>0 تفرضه عملية الاشتقاق وتعريف اللوغاريتم ، يمكنك أن تجرب أن توجد مشتقة |ln|x باستخدام نفس الطريقة وستصل إلى نفس الناتج .

رابعاً :: من يقرأ كلامك يظن أن الرياضيين لهم عداوة خاصة مع اللوغاريتم لعدد سالب وحاكوا كل هذه المؤامرات ضده



آتي إلى النهاية الثانية ..

اقتباس :

من دون الحاجة إلي الإثباتات لأنها لا وقت لدي ...استخدم الالة الحاسبة واعتبر ان ( دلتا س ----> 0.0001) وعوض باي قيمة موجبة او سالبة لترى الناتج

لم توفق مجدداً في طرحك .. لا توجد أية قيود على x∆ وكونها سالبة لا يثبت ما تريد .. لأن ما داخل اللوغاريتم هو x وليس x∆ !

ولكي ترى أنه يجب أن تفرض أن x>0 ،

إذا وضعت x=-2 مثلاً .. لا يمكنك إيجاد النهاية لأن الدالة الأسية في حال كون الأساس سالباً غير معرفة في جوار للعدد 0 ..

مثلاً ما هو ؟!
لا يوجد عدد حقيقي يمثل هذا المقدار .

لذا فإن عملية الاشتقاق وتعريف اللوغاريتم تفرض أن يكون x>0

 

 

اخي اربعمائة واربعة وخمسون

بعد التحية , واشكرك على اهتمامك بالموضوع

ارجو ان تراجع كلامي من جديد لانك فهمتني خطا او تسرعت في القراءة

انا لم افرض ابدا ان x∆ هي عدد سالب بل كانت دائما وابدا عدد موجب ثابت يؤول الى الصفر

اما الذي قلت انا عنه انه سالب هو المتغير x فقط في المعادلة التي قلت انت عنها انها خطا وهو الذي ماقلت انت ان ما داخل اللوغاريتم هو x وليس x∆

فانا اتكلم عن x وراجع المعادلات ومجالاتها من جديد

واذا كنت لم اذكر x∆ تئول الى الصفر ربما لاستعجالي ولكن افرض في كل المعادلات انها كذلك ثم اخبرني بعد ذلك

كما قلت لك افرض لـ x∆ رقم صغير جدا ثم عوض بالالة الحاسبة بـ x موجبة وسالبة تجد كلها تعطي العدد (هـ) و x هي التي داخل اللوغارتم كما قلت انت

 

 

الأخ المحترم ..

أرجو أن تراجع ردي السابق لأن فيه الإجابة .. وأوضح المزيد ..

اقتباس :

انا لم افرض ابدا ان x∆ هي عدد سالب بل كانت دائما وابدا عدد موجب ثابت يؤول الى الصفر

هذه العبارة كلها متناقضة ..

عندما يؤول عدد إلى الصفر فإن يؤول من اليمين ومن اليسار .. أي قد يكون سالباً أو موجباً .. فلا معنى أن تقول أنه موجب فقط ، ولا يوجد ما يمنع أن يكون سالباً أصلاً !

ثم إن قولك " عدد موجب ثابت" يتناقض مع كونه " يؤول الى الصفر" .. فكيف يكون ثابتاً ثم يؤول إلى الصفر ؟!

في كل الأحوال عندما تتحدث عن .. يجب أن تكون x∆ معرفة في جوار للعدد صفر .. أي ممكن أن تأخذ قيماً موجبة وسالبة .

اقتباس :

كما قلت لك افرض لـ x∆ رقم صغير جدا ثم عوض بالالة الحاسبة بـ x موجبة وسالبة تجد كلها تعطي العدد (هـ) و x هي التي داخل اللوغارتم كما قلت انت

أنت تخلط بين النهايتين ..

بالنسبة للنهاية .. :

لا يمكن أن يكون x عدداً سالباً .. السبب ذكرتُه في ردي السابق .




النهاية الأخرى :

بالنسبة لهذه النهاية كنهاية مستقلة بنفسها .. فإنها لا مانع أن يكون x سالباً أو موجباً .. وكذلك x∆ ..

ولكن هذا ليس له علاقة بإثبات ما تريد قوله .

 

 

اقتباس :

هذه العبارة كلها متناقضة .. عندما يؤول عدد إلى الصفر فإن يؤول من اليمين ومن اليسار .. أي قد يكون سالباً أو موجباً .. فلا معنى أن تقول أنه موجب فقط ، ولا يوجد ما يمنع أن يكون سالباً أصلاً ! ثم إن قولك " عدد موجب ثابت" يتناقض مع كونه " يؤول الى الصفر" .. فكيف يكون ثابتاً ثم يؤول إلى الصفر ؟! في كل الأحوال عندما تتحدث عن .. يجب أن تكون x∆ معرفة في جوار للعدد صفر .. أي ممكن أن تأخذ قيماً موجبة وسالبة .

انا قلت أن (∆س) عدد موجب فقط لكي لا تخلط بينها وبين المتغير (س) ولم ابتدع نظرية جديدة ------------> (1)
ثم قلت ان (∆س) مقدار ثابت (واعني أنها ليست متغير) فإذا كانت متغيرة كما تقول فأنت تنسف نظرية التفاضل من الاساس ... ارجع الى نظرية التفاضل (الرسمة المعروفة) وانظر هل (∆س) متغيرة مثل (س) ام انها مقدار ثابت بجانب الصفر ------------> (2)

على كل حال لا اريد الخروج بعيدا عن موضوعنا

واريد سعة صدرك ...... واسمح لي ان اشرح بطريقة اخرى


لو فرضنا مثلا اننا نريد تفاضل الدالة ln x عند النقطة (-3) وانا اعلم ان منحنى الدالة غير موجود عند هذه النقطة و كنتيجة نعرف ان اذا كان المنحنى غير موجود فالميل ايضا غير موجود يعني غير حقيقي
الان اريد استعمال التفاضل من خلال الاستنتاج وليس من خلال قانون التفاضل وهو ( تفاضل س عند -3 )

انظر....



الناتج عدد حقيقي وهو -1\3 .... وكان يجب ان يكون مركب او غير حقيقي ؟؟؟؟

 

 

اقتباس :

انا قلت أن (∆س) عدد موجب فقط (!!) لكي لا تخلط بينها وبين المتغير (س) ولم ابتدع نظرية جديدة ------------> (1) ثم قلت ان (∆س) مقدار ثابت (واعني أنها ليست متغير) فإذا كانت متغيرة كما تقول فأنت تنسف نظرية التفاضل من الاساس ... ارجع الى نظرية التفاضل (الرسمة المعروفة) وانظر هل (∆س) متغيرة مثل (س) ام انها مقدار ثابت بجانب الصفر (!!)------------> (2)

دهشت من كلامك ..!.. ولا أجد لك عذراً سوى قولك بأنك مبتدئ في الرياضيات ، والرد موجود سابقاً .. وارجع إلى معنى جملة ( تؤول إلى الصفر ) من الناحية الرياضية !



بالنسبة للمشتقة عند 3-

من أهم الأمور في الرياضيات التعريف ،
ولذا عندما تتحدث عن ln x .. فباستخدام أي تعريف صحيح تشاء ( مثل التعريف الذي ذكرتَه أنت) .. ln x غير معرفة على عدد سالب .. فكيف تشتقها على مجال غير معرفة عليه ؟ فكما يقول المثل .. : ( العرش ثم النقش ) ..

أول خطوة خاطئة وهي أنك تريد توجد المشتقة عند نقطة غير معرفة عندها الدالة .. !

وهذا الرد صحيح وكاف تماماً من وجهة نظر رياضية .

**
لكنني أضيف .. وأريدك أن تركز معي قليلاً ..

لنقل أن هناك دالة f قابلة للاشتقاق تحقق الخاصية التالية :

(f(xy)=f(x)+f(y

من خلال هذه الخاصية يمكنك إثبات كل الخواص التي تحتاجها .

إذا سمحنا لـ x , y أن يكونا أي عددين حقيقين ما عدا الصفر .. فإنه يمكنك أن تقول أن

وبوضع :

x تستطيع أن تكون أي عدد سالب أو موجب بما أن f معرفة على ذلك المجال ..

السؤال .. ما هي f ؟؟

إنها ليست ln x ... إنما هي |ln|x ..

السبب الذي أوقعك في المغالطة أن ln x و |ln|x لهما نفس الخواص التي يمكن من خلالها إيجاد المشتقة ولكنهما يختلفان في المجال ..
(أي أنك لو أبدلت ln x بـ |ln|x في إيجاد لمشتقة -3 لحصلت على نفس النتيجة )

وإذا أخذنا بكلامك .. بأنهما لهما نفس المشتقة فإنك تقول ضمنياً أن ln|x| = ln x .. (الثابت =0 ) وهذا الكلام خاطئ طبعاً ..

قد يخطر في ذهنك سؤال .. لماذا لم يعرفوا ln x على أنها |ln|x وينهوا هذا الاشكال .. ؟


أحد الأسباب لذلك .. أن |ln|x دالة ليست متباينة (not one to one) .. ولذلك لا تقبل معكوساً .. ولذلك لا يمكنك ربطها مع e^x
إلا إذا تم تعريفها على الأعداد الموجبة فقط .. !

وإذا عرفت ln x على أنها معكوس e^x أو على أنها المساحة تحت منحنى 1/t من 1 إلى x أو حتى على أنها النهاية x^h -1 على h عندما h تؤول إلى الصفر .. فإنه يجب أن تعرفها على الأعداد الموجبة فقط
وأحد القضايا المرتبطة بذلك أنه لا يمكنك تعريف الدالة a^x عندما تكون a عدد سالباً .. كما لا يمكنك تعريف ln a عندما a عدد سالب .


في الحقيقة ما قلتُه من بعد النجمتين لا يعتبر من وجهة نظر رياضية بحتة ذا قيمة هامة .. إنما هو فقط تحفيز motivation للتعريف


الخلاصة .. باستخدام أي تعريف تشاء لا يمكنك تعريف ln x إلا على الأعداد الموجبة ، وكون أن 1/x يمكن تعريفها على الأعداد السالبة ( إذا لم نتحدث عنها في إطار ln x ) لا يعني شيئاً أبداً .. !

وإذا أردت التوسع المزيد في هذا الموضوع يمكنك قراءة الكتاب الرائع Calculus لـ Tom Apostol حيث يتحدث عن هذه الاشكالية .

 

 

ما شاء الله

نقاش جميل وممتع

و مـفيـــــــد

تابعوا

 

 

اقتباس :

أول خطوة خاطئة وهي أنك تريد توجد المشتقة عند نقطة غير معرفة عندها الدالة .. ! وهذا الرد صحيح وكاف تماماً من وجهة نظر رياضية .

نعم صحيح ..... ولكن

اولا: خطوات الاستنتاج صحيحة بغض النظر عن العدد السالب

ثانيا: بما ان علم الرياضيات علم دقيق ولامجال للاخطاء فيه ... فاستغرابي هو التالي:

ان ذلك العلم الدقيق و باستعمال الاستنتاج الذي ذكرته سابقا لم يوافقك الراى بل اعطاني عدد حقيقي وكان يجب على هذا العلم الدقيق ان يقول لي " انت حرام فيك عدد حقيقي لانك تريد ان تشتق في مكان لايوجد فيه منحنى وانت تستحق يا Nil عدد غير حقيقي" ... وهكذا تكون دقة الرياضيات كما هو الحال في اشتقاق اي دالة اخرى في غير مجالها

يعني لما احاول اشتق داله ما مثا (1-س^2)^0.5 عند النقطة 2 تعطيني عدد غير حقيقي لان المنحنى غير موجود وكذالك الحال في كل الدوال الاخري التي نعرفها .... الا اللوغارتم فهو يعطي عدد حقيقي

اقتباس :

السبب الذي أوقعك في المغالطة أن ln x و |ln|x لهما نفس الخواص التي يمكن من خلالها إيجاد المشتقة ولكنهما يختلفان في المجال .. (أي أنك لو أبدلت ln x بـ |ln|x في إيجاد لمشتقة -3 لحصلت على نفس النتيجة ) وإذا أخذنا بكلامك .. بأنهما لهما نفس المشتقة فإنك تقول ضمنياً أن ln|x| = ln x .. (الثابت =0 ) وهذا الكلام خاطئ طبعاً .. قد يخطر في ذهنك سؤال .. لماذا لم يعرفوا ln x على أنها |ln|x وينهوا هذا الاشكال .. ؟

ما هو ملون بالاحمر يعني ان كان صحيحا فانها لاتوجد دقة رياضية تميز بين هاتين الدالتين في الاشتقاق وهذا اعتبره نقص في التعريف او اهمال اشياء لازالت غير معروفه لدينا في طرق الاشتقاق ؟؟؟

اما من وجهة نظري فان هناك اشياء لازلنا نجهلها في التراكيب الرياضية حتى نصبح ادق مما هو نحن عليه الان ....


والله اعلم

 

 

شكرا يا يوسف