موضوع النظم العددية .. شيق للغاية .. عزيزي أستاذ الرياضيات ..

ويستخدم في نظم التشفير ..

وتقوم على أساسه لغة الآلة للحاسب الآلي ...

حيث يتم تصميم الدوائر الإلكترونية المنطقية والحسابية على أسس النظام الثنائي ...

وبمرور الوقت تم انتاج برامج مترجمة للترجمة من لغة الآلة (المبنية على نظام العد الثنائي Binary) إلى لغة (مبنية على نظام العد الثماني Octal أو السادس عشري Hexadecimal) وبالعكس .. بقصد تسهيل عمليات اليرمجة ...

للموضوع بقية ...

 

 

	اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mmmyyy [ مشاهدة المشاركة ] موضوع النظم العددية .. شيق للغاية .. عزيزي أستاذ الرياضيات .. ويستخدم في نظم التشفير .. وتقوم على أساسه لغة الآلة للحاسب الآلي ... حيث يتم تصميم الدوائر الإلكترونية المنطقية والحسابية على أسس النظام الثنائي ... وبمرور الوقت تم انتاج برامج مترجمة للترجمة من لغة الآلة (المبنية على نظام العد الثنائي Binary) إلى لغة (مبنية على نظام العد الثماني Octal أو السادس عشري Hexadecimal) وبالعكس .. بقصد تسهيل عمليات اليرمجة ... للموضوع بقية ... السلام عليكم و رحمة الله و بركاته أخى الكريم / أستاذ الرياضيات جزاك الله خيراً لهذا الموضوع المتميز أخى العزيز / محمد أضافه قيمة بارك الله فيك و جزاك كل الخير * * * تمثيل البيانات أضغط هنا لعل هذا الرابط يفيد الموضوع * * *

 

 

	تاريخ النظم العددية في الحضارات القديمة أهتم الانسان منذ قديم الزمان بالعد والحساب ، فالانسان الاول عَد الاشياء من حوله والتي تحيط به في الطبيعة ، الاشجار الجبال الانهر والخ من الاشياء . وبعد تحول الانسان من حياة الصيد إلى حياة التدجين من خلال التجمعات السكانية والجماعات البشرية التي انتقل اليها في مراحل تطورة الحياتي ، في خطوة اولى لبناء القرى والمدن اتضحت حاجته الماسة إلى العد والحساب ، لعد مواشيه وحيواناته لعد مخزونه ، وبالتالي لعد الايام والفصول . لم يكن العد في بداياته متطورا كما هو عليه اليوم ، إذ لم يكن هنالك نظام عددي معين مثل ما نستخدم نحن اليوم النظام العشري ، وكثير منا لا يدرك اهمية النظام العددي ، ولكي نفهم تلك الاهمية نضع نحن الان تعريفا مبسطا للنظام العددي ونقول بأنه نظام يمثل مجموعة من الاعداد المحدودة وبتكرارها او بكتابتها مع بعض تعطينا اعداد أكثر ضمن صيغ محددة في النظام وتخضع إلى اسلوب معين في العمليات الحسابية الاولية مثا الجمع والطرح والضرب والقسمة ،وكتوسع أكبر نقول ان النظام العشري المستخدم اليوم يمثل عشرة اعداد هي 0 ،1، 2، 3 ،4 ،5 ،6 ،7 ،8 ،9 اما النظام الثنائي فهو نظام يستخدم العددين 0 ،1 فقط ولكل نظام عددي مميزاته وخصائصه مثلا اليوم اغلب الحاسبات الالكترونية تستخدم النظام العددي السادس عشر لخصائصه المتميزة في العد والحساب ولكنه لنا نحن الاشخاص العاديين يعتبر معقد وصعب ربما لاننا تعلمنا منذ صغرنا على النظام العشري . لم يكن هنلك ظهور للانظمة العددية في التاريخ لغاية الالف الثاني قبل الميلاد ، وحسب ما تشير المراجع التاريخية انه في بلاد بابل ظهر النظام العددي الاول وهو النظام الستيني الذي لحد اليوم يستخدم في حساب الوقت حيث الساعة ستون دقيقة والدقيقة ستون ثانية وهكذا وهو ايضا ما مستخدم اليوم بالتقويم السنوي . .. .

 

 

	اعتمد الانسان بالدرجة الاولى في الحضارات القديمة البدائية على اصابع اليد في العد ، وكانت هنلك حتى وقت قريب قبائل بدائية في افريقيا وقبائل اخرى من سكان اميركا الاصليين لا يستعملون في لغاتهم سـوى ما يقابل ( واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ) ولم تكن لديهم تسمية خاصة للعدد خمسة فيقولون عن كل ما يزيد عن الخمسة بأنه ( كثير ) ، وكانت قبائل اخرى تقول عن العدد خمسة بأنه ( اليد ) ، ويمثلونه باليد اليمنى ، ويعبرون عن العدد سته بقولهم ( واحد على اليد اليسرى ) وعن العدد سبعه ( اثنان على اليد اليسرى ) وهكذا... واما عن العدد عشرة فيقـولون ( كلتا اليدين ) ثم يبدأون بأصابع القدم اليمنى ثم اليسرى . يقدم لنا علماء الاثار والمؤرخون أمثلة عديدة ومختلفة عن طرق العد والحساب البدائية عند الانسان ، أستمرت شعوب وقبائل كثيرة بأستخدامها حتى بعد الالف الاول الميلادي ، بينما طورت حضارات أخرى نظام العد والحساب منذ ألفي عام قبل الميلاد ، منهم الحضارة البابلية في وادي الرافدين وحضارة الفراعنة في وادي النيل وحضارة السند في الهند والحضارة الرومانية والاغريقية في اوربا . استخدمت بعض الحضارات عوضا عن الاصابع ( الحصى ) ، وكلمة الحصى باللاتينية ( Calculi ) ومنها جاءت كلمة ( كود Calculation ) أي الحساب ، وكلمة ( Calculator ) اي الحاسب او المعداد . في اخر النصوص التي عثر عليها في اهرامات مصر كتب ما يلي ( ان روح الشيطان قد تحدت فرعونا مصريا على ان يستطيع عد اصابعه ليجتاز الامتحان بنجاح. ان أختراع الانسان للكتابة كان له أثر بالغ في تطور العد والحساب اذ وضع رموزا معينه لتمثيل الاعداد كان اقدمها اسلوب العد الممثل بالجدول رقم (1) الذي يطلق عليه النظام او الاسلوب الاحادي(Unary System ). ويمكن ان نلاحظ ان هذا الاسلوب متعب خصوصا اذا كانت الاعداد التي نكتبها كبيرة، مما أدى في نهاية الامر ان الانسان بدأ يختصر بعض الارقام بأعطائها رموزا خاصة بدلا عن التكرار العمودي فمثلا مَثَل المصريون الرقم عشرة بالرمز ( ∩ ) وذلك حولي (3350 )ق.م. وبعض الحضارات الاخرى أستخدموا اساليب اخرى غيرها ، ولكن الامر لا يبتعد عن وجود بعض المعوقات في هذه الاستخدامات ، ما دفع الانسان دوما إلى التجديد والتطوير والبحث . والمباحث التالية لتفاصيل الانظمة العددية عند كل حضارة على حده. .. .

 

 

	نظام العـد البابلي الحقيقة والتي لا تخفى على احد ان وادي الرافدين ( دجله والفرات ) و شعوبه كان احد اعمدة المجتمع الانساني في العصور الاولى ، بكل ما سكنته من حضارات وأمبراطوريات ودويلات. أولى الالواح الطينية التي اكتشفت في وادي الرافدين تعود لحوالي (2300 ) ق. م وما بعدها ، وكانت مكتوبة بالخط المسماري (الذي لا يستخدم الصور) ، ومنها استدل إلى الطريقة التي بها كتب البابليون الارقام واساليب العد ، حيث وجد ان البابليون استخدموا الطريقـة العشــرية والطريقة الستينية ( حسب عدد الاعداد الاساس التي يتكون منها النظام ففي العشري هي عشرة اعداد والستيني هي ستون عددا ) ، لم يستطبع العلماء والاثاريون ان يستدلوا على شكل ثابت لهذه الاعداد حيث لوحظ انها اختلفت بأختلاف فترات الحكم ، ومن المؤكد انهم استخدموا الاعداد من (1) إلى (9) بخطوط عمودية كما في النظام المصري ولكنها كانت مسمارية الشكل لأستخدامهم أداة كتابة خاصة تعطي هذا الشكل وأستخدموا الرمز ( >) للعدد 10 ومثلوا الاعداد من (1) إلى (59) بتكرار رمز الواحد ورمز العشرة ، كما لابد من الاشارة إلى انعدام اهمية مكان وموضع العدد ، فيجوز كتابة العدد (23) والـذي يكتب بالشـكل ( ¡ ¡ ¡ > > ) او بالشكل ( > ¡ ¡ ¡ > ) او باي شكل اخر ، حيث ذكرت انه لا اهمية للموقع ولا للمرتبة عندهم ، كما لا يفوتني هنا الاشارة إلى انهم استخدموا الفراغ للدلالة على عدم وجود عدد ، أي ما نعرفه اليوم بالصفر ، وكان هذا أول استخدام للصفر عبر التاريخ لكن لم يكن بالمعنى والخصائص الرياضية التي نعرفها اليوم عن الصفر، حيث كان لاستخدامه خصائص اخرى ممكن ان تكون لنا اليوم غريبة بعض الشيء لكنها ليست كذلك للذين يعرفون استخدام النظام الستيني ، والغرابة تكمن في استخدامهم للمكانة الفراغية ( أي الصفر) والعدد (60) ، يمكن ملاحظة ذلك في طريقة كتابتهم للعدد ( ¡ ¡ فراغ ¡ ¡ ¡ > > > > ) حيث يمثل العدد التالي :- 2 + صفر + ¹60 + 43 * 60 ² = 2 + 0 + 154800 وهو ما يساوي العدد ( 154802 ) اذن نجـد ان الفراغ كان للـدلالة الىالقيمة المكانية أكثر مما لدلالة القيمة الصفرية ، من هذا يمكننا ان نستدل إلى انهم ميزوا الحاجة إلى عدد له خصائص الصفر وأسموه ( القيمة الخالية ) ، ومع مرور الزمن استخدموا الرمز ( ∑ ) للدلالة على هذه القيمة ، لكنهم لم يعطوه خصائص الصفر المعروفة لدينا اليوم. كان البابليون مهره في علوم الرياضيات والطبيعة ، وهذه المهارة تطلبت منهم البحث والتطوير المستمر لتلبية احتياجاتهم الحياتية والعلمية ، وما كان لاكتشافهم للصفر او القيمة الفراغية بين الاعداد ونظام العد الستيني الا نتيجة لتطور بحوثهم واحتياجاتهم العلمية وهذا التطور في علوم الحساب والرياضيات اعقبه تطور مهم جدا في العلوم التي تعتمد على الحساب والرياضيات مثل علوم الفلك ، حيث لهم به مكانة مهمة وكبيرة من تقسيمات الزمن والتي لحد يومنا هذا نستخدمها ، فكثير منا لم ينتبه إلى اننا نقسم الساعة إلى ستين دقيقة والدقيقة إلى ستين ثانية ، فهي ليست سوى التقسيم البابلي الستيني للاعداد والذي اعتمدوه منذ ذلك الوقت ، وكذلك أشهر السنة وعدد ايام الشهر وما غير ذلك . .. .

 

 

	نظام العد المصري لعل من محاسن تطور الاعداد لدى قدماء المصريين ( الفراعنة ) هو ارتباطها بطريقة الكتابة الهيروغليفية ، التي اعتمدت على استخدام الصور والحالة التصويرية اي انها كتابة صورية الامر الذي دعى الفراعنة إلى استخدام الاشكال الصورية حتى في كتابة الاعداد وهذا الامر اختصر من الزمن الكثير في تطور الاعداد لديهم ، فكما لاحظنا عند البابليين انهم احتاجو إلى وقت طويل إلى الوصول إلى حالة استخدام الرموز في كتابة الاعداد بدلا عن النظام الاحادي في الكتابة والترميز للاعداد الذي يعتمد إلى شكل واحد وتكراراته . نظام العد المصري اعتمد على نظام العشري واستقوه من عدد اصابع اليدين وهذا كان له محاسنه ومساوئه ، من محاسنه انه نظام غير معقد سهل الاستخدام للاشخاص العادين لتعود العين والحواس البشرية على العدد عشرة ومضاعفاته كوننا خلقنا بعشرة اصابع ، فعقلنا لا يحتاج إلى تعليم وادراك وتخيل اعدادا من ستين رقما كما في نظام العد البابلي . ومن مساوئه كفايته للقدماء المصرين ولم يجبروا على البحث والتطوير كما حدث مع البابليين مما ادى إلى توقف تطور العلوم الاخرى المتعلقة بالحساب والرياضيات . ابتكر المصريون للنظام العشري الخانات والمراتب وكان هذا ابتكارا كبيرا لاحقا لتطور الاعداد ، حيث قسموا العدد إلى مراتبه من الاحاد والعشرات والمئات والى اخره ، ووضعوا رمزا خاصا للرقم في كل مرتبة من المراتب وكانوا يكررون هذا الرمز بمقدار قيمة الرقم في الخانة الخاصة به ويمكن ملاحظة ذلك في الجدول رقم (2) ، ولم يكن في نظامهم اي اهمية لموقع المرتبة او القيمة المكانية ولم نجد رمزا خاصا للصفر والسبب يعود لانهم استقوا هذا النظام من اصابع اليدين فلم بعرفوا الصفر لاستحالة وجود شخص بدون اصابع اطلاقا . وكمثال للكيفية التي بها كتب الفراعنة والمصرين الاعداد نكتب عددا من مرتبة الملايين كما التالي : (1320033 ) ويمكن ان نستنتج صعوبة اجراء العمليات الحسابية لكبر حجم الاعداد واشكاليات كتابتها من حيث الرموز المستخدمة وهذا سبب يؤكد لنا عدم تطور الرياضيات بصورة واضحة عند المصريين وعدم اعتماد حضارات اخرى هذا الاسلوب في كتابة الاعداد ، هذا ما وجده اللغويين ايضا في ان الحروف الهيروغليفية لم تنتقل إلى حضارات اخرى واوعزوه إلى الصيغة الصورية في كتابة الاحرف وصعوبة التعبير فيها. .. .

 

 

	نظام العد الإغريقي عرف الإغريق بأنهم حضارة أتصلت أتصال تجاري مع الحضارات المجاورة لها ، وخاصة حضارات حوض البحر الابيض المتوسط ، وعرفوا فلسفة هذه الامم وأساطيرها وفنونها ومعارفها. ومن الحضارات الكبيرة التي جاورتهم هي حضارة الفراعنة في مصر ، وكان ذلك حوالي القرن السابع قبل الميلاد ، ونهل الإغريق من كهنة المصريين الكثير من العلوم والمعرفة، حيث نفلت طرق المصريين في المعارف إلى الاغريق وهذا ما يتضح من طريقة الاغريق في كتابة الاعداد المشابهة للمصريين . كما ذكرت ان الاغريق اخذوا من الحضارات المجاورة لها الكثير وهذا ايضا ينطبق على الاعداد والنظم العددية قكان تأذير الفراعنة واضح وكذلك تأثير العرب والاراميين ، فكان نظام العد الاغريقي نظام معقد وصعب ليس فقط في كتابة الاعداد وانما في اجراء العمليات الحسابية ايضا ، والحقيقة ان اغلب الانظمة العددية التي تعتمد في اعدادها الرموز لقاعدة عريضة وطويلة من الاعداد كانت تواجهة صعوبة في اجراء العمليات الحسابية ، وهذا ما سوف نحلله لاحقا في مباحث اخرى من هذا الكتاب. لمزج الاغريق الاحرف الابجدية مع رموز اعدادهم تمثلت الصعوبة في نظام العد الاغريقي الامر الذي بالتالي ادى إلى تأخرهم بالرياضيات بصورة خاصة مما لهذه الصعوبات العدبدة وما خلقته من مصاعب ومشاكل. وجد للاغريق نظامان عدديان ا لاول متاخر والثاني قد تطور بعض الشييء ، وهذا لابد حدث لاستمرارهم بالاتصل بالحضارات القديمة ويمكنانهم في الاول اخذوا الشيء الكثير من الفراعنة واستحدثوا نظامهم العددي الاول او القديم الواضح في الجدول رقم ( 3 ) السابق ويمكن لنا من الجدول السابق رفم (2) ملاحظة القرب بين الاغريق والفراعنة ، وكذلك نلاحظ ان الاغريق أول من اهتم بالعدد خمسة (5) ومضاعفاته العشـرية (50) ، (500) ، (50000) وهذه حالة جديدة في ان بجعلوا لها رموز في النظم العددية عادة ما استخدمن الحضارات الانسانية مضاعفات العــدد عشره ، وانا بحقيقة الامر اوعز ذلك للانتشار الاغريقي الكبير على عدة سواحل افريقية وشرق اوسطية وغيرها وهذه السواحل يسكنها اقوام وقبائل مختلفوا المعرفة وكما ذكرنا سابقا ان هنلك حضارات استخدمت اصابع اليد الواحدة وما سوى ذلك فأطلق عليه كثير ، وممكن ان الاغريق في تجارتهم احتاجوا إلى مضاعفات الخمسة العشرية في تجاراتهم معهم ، وهذه الحضارات هي من حضارات العالم القديم ، وما يؤكد افتراضي هذا انهم اي الاغريق احتاجوا بعد مدة من الزمن ان يطوروا نظام العد الخاص بهم إلى نظام اطلقوا عليه نظام العد الجديد وفيه لم يتم التركيز على مضاعفات الخمسة العشرية . هذا النظام العددي الجديد للاغريق انهم استغنوا عن النظام الاحادي من العدد (1) إلى العدد (9) واستخدموا احرف ابجدية بدلا عنها ، وتوسعوا بتحديد الاعداد من العدد (10) إلى العدد (900) برموز حرفية لكل منها حتى اصبحت الاعداد لديهم سبعه وعشرون عددا ، لكن دون اية اهمية لموقع العدد او الفيمة المكانية له. .. .

 

 

«®°·.¸.•°°·.¸¸.•°°·.¸.•°®»

	نظام العد الروماني اعتمد الرومان على الاغريق فيى مختلف علومهم ومعارفهم ، هذا ممكن ان يعود إلى تقارب اللغتين والتقارب الجغرافي فيما بينهم ، وكذلك ان الاغريق نقلوا الكثير من علوم ومعارف حضارات اخرى إلى الاغريقية من ترجمات وغيرها ، بالحقيقة كان هذا كنزا كبيرا للرومان كنز جاهز ومختلف كثيرا عن العلوم المعروفة في وقتها عند الرومان . من هذا الكنز الوفير مزج الرومان تركيبتهم الخاصة من النظام العددي، فلقد استخدموا النظام العشري مع الاحتفاظ بالرموز في تمثيل الاعداد ،حيث قسموا الاعداد إلى اعداد اساسية كما اسموها والتي هي ( 5 ، 10 ، 50 ، 100 ، 500 ، 1000 ) ومثلوها برموز وهي على التوالي ( v ،x ، l ، c ، d ، m ) واعداد غير اساسية والتي هي ( 1 ، 2 ، 3 ) ومثلوها بالنظام الاحادي والتي هي على التوالي ( i ، ii ، iii ) وكذلك استخدموا الصيغة المكانية في كتابة العدد فالعدد الغير اساسي على اليمين فهو يجمع أما على اليسار فهو يطرح من الاعداد الاساسية ، لكن في الواقع كان هذا التطور عقبة في التطور البعيد للنظام العددي لديهم . في الحقيقة ان النظام العددي الروماني لم يتطور بهذه السهولة كما ادرجت سابقا لكنه قد مره بعدة حقبات ففي وقت لاحق من نظامهم العشري الاول اكتشفوا انهم في مرحلة بدائية جدا ، الامر الذي اجبرهم للرجوع إلى المعارف الاغريقية وخلق وابتداع نظامهم العشري الجديد الذي هو في حقيقة الامر مزيج من النظام الخمسي والعشري، فالعدد واحد رمزوا له بالاصبع الواحد أي بخط رأسي والعدد خمسة رمزوا لها باليد الواحدة ذات الاصابع الخمسة ، ولما كان الابهام يتجه اتجاها اخرا عن باقي اصابع اليد فرسموا اليد هكذا ( ٧ ) وبالتالي فالعشرة كانت عبارة عن كلتا اليدين فكتبوا خمسة وتحتها خمسة مقلوبة للاسفل وكان يفصل بينهما فاصل بسيط للتمييز انهما خمستان ( ٧ ) ثم مع مرور الزمن كتبوها بدون الفاصل بينهما فاصبحت كما معروفة اليوم بالحرف اللاتيني ( x ) ، والعدد اثنين كرروا رمز الواحد مرتان وهكذا مع العدد ثلاثة اما باقي الاعداد فكانت طريقة الجمع والطرح حسب موقع العدد غير الاساسي من العدد الاساسي . بقي الرومان يستخدمون هذه الطريقة حتى الالف الثاني بعد الميلاد ، وكان تطور النظام العددي لديهم مرتبط ارتباطا وثيقا بتطور اللغة اللاتينية فيما بعد ، والكثير من دارسي الانظمة العددية علفوا تطور الانظم العددية عند الرومان بحاجة اللغة اللاتينية لها وليس للحاجة الحسابية البحتة ، وهذا سبب كافي لتلكؤ تطورها لكون الذين عملوا بهذا التطور كانوا لغويين لا غير . الكثير من الباحثين الاوربيين الاوربيين في القرون الاولى بعد الميلاد اعتبروا النظام العددي الروماني هو فمة فخر تطور الانسانية ، لكن بالحقيقة كانت هنلك حضارات اخرى عديدة على الكرة الارضية لديها من الانظمة العددية ما هو متطور جدا عما للرومان ، كانوا على سبيل المثال لا الحصر يعتقدون ان استخدامهم للمكان ( الموفعية ) في كتابة الاعداد هو فمة هذا التطور ، بل على الع** نرى ان هذا الامر كان المعرقل الكبير في تطور نظامهم هذا ن غهم لم يستخدموا الموقعية لقيمة الرقم كما سنرى ذلك عند الهنود وكما نطلق عليه اليوم الخانات ( الاحاد والعشرات والخ ) ، ونرى هذا بدقة عندما نرغب بكتابة العدد ( 1988 ) بالنظام الروماني : ( mcmlxxxviii ) لاحظ ان قراءة العدد يجب ان تكون من جهة اليمين وحوالي العدد الاساسي الاكبر كما في الرقم ثمانين هنا في مثالنا اعلاه ، كانت العمليات الحسابية جدا معقدة بهذا النظام ومتعبة غي نفس الوقت ، ما تجدر الاشارة اليه هنا هو عدم استخدامهم للصفر ولا نجد له اي رمز او إشارة وكثيرة هي اسباب عرقلة هذا النظام لاحقا . .. .

«®°·.¸.•°°·.¸¸.•°°·.¸.•°®»