متفاوته أمريكانيه (9)

11-04-2007, 06:51 PM

ظريفه

10-08-2007, 12:31 AM

نضع $a=\frac{x}{y}$ و $b=\frac{y}{z}$ و $c=\frac{z}{x}$ حيث $x$ و $y$ و $z$ أعداد حقيقية موجبة قطعا .

إذن المتفاوتة المراد إثباتها تكافئ $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x}) \le 1$

أي : $(x - y + z)(y - z + x)(z - x + y) \le xyz$

نضع الآن : $x - y + z = \alpha$ و $y - z + x = \beta$ و $z - x + y = \gamma$

إذن : $\alpha+ \beta= 2x$ و $\beta+ \gamma= 2y$ و $\gamma+ \alpha= 2z$ .

وبالتالي المتفاوتة المراد إثباتها تكافئ $\left( {\alpha+ \beta } \right)\left( {\beta+ \gamma } \right)\left( {\gamma+ \alpha } \right) \ge 8\alpha \beta \gamma$

وهذه متفاوتة بسيطة جدا يمكن إثباتها باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي و الهندسي ذلك أنه $\alpha+ \beta\ge 2\sqrt {\alpha \beta } \,\,,\,\beta+ \gamma\ge 2\sqrt {\beta \gamma } \,,\,\gamma+ \alpha\ge 2\sqrt {\gamma \alpha }$
فيكفي إذن ضرب المتفاوتات الثلاث طرفا بطرف للوصول إلى النتيجة
لكن هذا طبعا يفترض أن تكون الأعداد الثلاثة $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ موجبة .
أما الحالة التي يكون فيها أحد العددين فقط سالبا فهنا المتفاوتة محققة لأ ن الطرف الأيمن $\alpha \beta\gamma$ سيكون سالبا والأيسر $\left( {\alpha+ \beta } \right)\left( {\beta+ \gamma } \right)\left( {\gamma+ \alpha } \right) = 8xyz$ موجبا .
لاحظ أنه لايمكن أن يكون عددان فقط منهما سالبا ولا الثلاثة سالبا !

ملحوظة : الحل منقول للفائدة

10-08-2007, 03:24 AM

thank you (استاذ _عمر_ فعلا ضريفة استاذ _امام_)
تحياتي


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة