تكامل للعظماء

16-06-2008, 08:35 PM

المسالة بالمرفق

17-06-2008, 12:53 AM

$S = 2\pi \int\limits_0^\pi{y\sqrt {(\frac{{dx}}{{dt}})^2+ (\frac{{dy}}{{dt}})^2 } }$

$x = at - a\sin t \to \frac{{dx}}{{dt}} = a - a\cos t \to (\frac{{dx}}{{dt}})^2= a^2- 2a^2 \cos t + a^2 \cos ^2 t$

$y = a - a\cos t \to \frac{{dy}}{{dt}} = a\sin t \to (\frac{{dy}}{{dt}})^2= a^2 \sin ^2 t$

$S = 2\pi \int\limits_0^\pi{(a - a\cos t)} \sqrt {a^2- 2a^2 \cos t + a^2 \cos ^2+ a^2 \sin ^2 t} dt$

$= 2\pi \int\limits_0^\pi{(a - a\cos t)} \sqrt {a^2- 2a^2 \cos t + a^2 (\cos ^2+ \sin ^2 t)} dt$

$= 2\pi \int\limits_0^\pi{(a - a\cos t)} \sqrt {2a^2- 2a^2 \cos t} dt$

$= 2\pi \sqrt 2 a^2 \int\limits_0^\pi{(1 - \cos t)} \sqrt {1 - \cos t} {\rm{ }}dt$

$= 2\pi \sqrt 2 a^2 \int\limits_0^\pi{(2\sin ^2 \frac{t}{2})} \sqrt {(2\sin ^2 \frac{t}{2})} {\rm{ }}dt = 2\pi (2)a^2 \int\limits_0^\pi{(2\sin ^3 \frac{t}{2})} {\rm{ }}dt$

$= 8\pi a^2 \int\limits_0^\pi{(\sin ^3 \frac{t}{2})} {\rm{ }}dt = 8\pi a^2 \int\limits_0^\pi{(\sin ^2 \frac{t}{2})} \sin \frac{t}{2}{\rm{ }}dt$

$= 8\pi a^2 \int\limits_0^\pi{(1 - \cos ^2 \frac{t}{2})} \sin \frac{t}{2}{\rm{ }}dt$
وبالتعويض افرض ( u=cos(t/2
أتوقع انه لم يبق الآن سوى خطوة واحدة وهي التعويض

17-06-2008, 03:20 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة أ.صالح أبو سريس [ مشاهدة المشاركة ]

$S = 2\pi \int\limits_0^\pi{y\sqrt {(\frac{{dx}}{{dt}})^2+ (\frac{{dy}}{{dt}})^2 } }$

$x = at - a\sin t \to \frac{{dx}}{{dt}} = a - a\cos t \to (\frac{{dx}}{{dt}})^2= a^2- 2a^2 \cos t + a^2 \cos ^2 t$

$y = a - a\cos t \to \frac{{dy}}{{dt}} = a\sin t \to (\frac{{dy}}{{dt}})^2= a^2 \sin ^2 t$

$S = 2\pi \int\limits_0^\pi{(a - a\cos t)} \sqrt {a^2- 2a^2 \cos t + a^2 \cos ^2+ a^2 \sin ^2 t} dt$

$= 2\pi \int\limits_0^\pi{(a - a\cos t)} \sqrt {a^2- 2a^2 \cos t + a^2 (\cos ^2+ \sin ^2 t)} dt$

$= 2\pi \int\limits_0^\pi{(a - a\cos t)} \sqrt {2a^2- 2a^2 \cos t} dt$

$= 2\pi \sqrt 2 a^2 \int\limits_0^\pi{(1 - \cos t)} \sqrt {1 - \cos t} {\rm{ }}dt$

$= 2\pi \sqrt 2 a^2 \int\limits_0^\pi{(2\sin ^2 \frac{t}{2})} \sqrt {(2\sin ^2 \frac{t}{2})} {\rm{ }}dt = 2\pi (2)a^2 \int\limits_0^\pi{(2\sin ^3 \frac{t}{2})} {\rm{ }}dt$

$= 8\pi a^2 \int\limits_0^\pi{(\sin ^3 \frac{t}{2})} {\rm{ }}dt = 8\pi a^2 \int\limits_0^\pi{(\sin ^2 \frac{t}{2})} \sin \frac{t}{2}{\rm{ }}dt$

$= 8\pi a^2 \int\limits_0^\pi{(1 - \cos ^2 \frac{t}{2})} \sin \frac{t}{2}{\rm{ }}dt$
وبالتعويض افرض ( u=cos(t/2
أتوقع انه لم يبق الآن سوى خطوة واحدة وهي التعويض

الاخ المحترم \ صالح ابو سريس
رائع جدا مشاركتك وجزاك الله كل خير


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة