متى تكون العلاقة متماثلة؟
تسمى العلاقة ع متماثلة على المجموعة ش إذا وفقط إذا كان (س،ص)ينتمي للعلاقة فإن (ص،س) ينتمي للعلاقة أيضاً حيث س،ص عناصر من المجموعة ش فمثلاً لو كانت
ش={3،2،1،0} وكانت
ع={(.،3)،(2،1)،(0،3)،(1،2)} فهذه علاقةمتماثلة لأن (1،2)،(2،1)موجودة في ع كذلك (3،0)،(0،3)موجودة في ع
إذا أخذنا ع =
{(2،1)،(3،2)،(1،3)،(1،2)،(3،1)} فهنا نلاحظ أن:
(3،2)تنتمي للعلاقة ع لكن (2،3) لا تنتمي للعلاقة ع
هنا تسمى العلاقة غير متماثلةلأن هناك (س،ص)ينتمي للعلاقة ع لكن (ص،س)لا ينتمي للعلاقة ع
ولكن.....
إذا وجدنا أن لأي (س،ص) في ع لا يوجد (ص،س) فهنا تسمى العلاقة لا تماثلية(متخالفة)
فمثلاً ع={(1،2)،(2،3)،(0،1)،(3،1)} علاقة لا تماثلية لأن :
(1،2)ينتمي للعلاقة لكن (2،1)لا ينتمي
(2،3)ينتمي للعاقة لكن (3،2) لا ينتمي
(0،1) ينتمي للعلاقة لكن (1،0) لا ينتمي
(3،1)ينتمي للعلاقة ولكن (1،3) لا ينتمي
لذا علينا أن نفرق بين علاقة غير متماثلة وعلاقة لا تماثلية
فليس كون العلاقة غير متماثلة أن تكون لا تماثلية

 

 

معلومة رائعة جزاك الله خيرا

 

 

معلومة جديدة
شكرا كثيرا وجزاك الله خيرا

 

 

السلام عليكم .... أخي .. أ / صالح ... شرفنا .. بعضويتكم في هذا المنتدى الرائع ..

أحسبني ... لاحظت أخي ... أن هناك علاقة تماثل .. وأخرى غير متماثلة ... فضلاً عن ثالثة ... لا تماثلية ...

هل ... ما استوعبته .. أنا .. من الموضوع .. هو ما تقصده أنت ..؟!!!

 

 

أحسنت أستاذي الفاضل. لقد أحببت أن أبين الفرق بين أمرين يخلط بينهما كثير من أهل الرياضيات لا سيما طلبة التخصص وهما علاقة غير متماثلة وعلاقة لا تماثلية.فلكل منهما قيود فلا أستطيع أن أقول عن غير المتماثلة لا تماثلية لا سيما أن هناك علاقات متعددةتبنى عليهما.
وفقنا الله لما فيه خير ديننا وأمتنا

 

 

 

 

أخي الحبيب محمد حفظك الله.لقد تعمدت عند الحديث عن العلاقة اللاتماثليةأن أتجنب التعريف وأوضحها من خلال شرح مبسط.أم وقد طلبت مني تعريفها فأقول :
تسمى العلاق ع لا تماثلية على المجموعة س إذا وفقط إذا عندما (س،ص)تنتمي للعلاقة ع فإن (ص،س)لا تنتمي للعلاقة ع.وبمعنى آخر فإن ع علاقة لا تماثلية على س إذا كان (س،ص)ينتمي للعلاقة ع وكان (ص،س)ينتمي للعلاقة ع فإن س=ص

أوضح هنا المثال الاتي:
س={أ،ب،ج،د }
ع={(أ،ب)،(ج،ج)،(ب،ج)،(ج،د)،(د،د)}علاقة تخالفية

 

 

أعذرني .. أخي أ / صالح ... فأنا أشعر أن هناك تضارب في الشرح ... أو على الأقل .. الأمثلة لم تكن واضحة بالقدر الكافي ... وأحب أن أؤكد لك .. أن هناك العديد من الطلاب ... يستذكرون دروسهم عبر هذا المنتدى ... لذا يجب ... ألاّ نترك الموضوع ... حتى نتفق معًا على ما قد قيل ... وإلاّ .. تحدث بلبلة .. لأبنائنا .. الطلاب الذين يتابعوننا ...

فأنت في المثال الأخير من الموضوع لم تعرض لزوج مرتب على النسق (س ، س) ينتمي إلى العلاقة المتخالفة (اللاتماثلية) مما دفعني إلى الاعتقاد بأن وجود هذا العنصر في العلاقة ينفي عنها صفة التخالف ... فأرجو .. توضيح ذلك ...

 

 

تحياتي لك أستاذي الفاضل: على العكس أنا عرضت في المثال العلاقة ع ={(أ،ب)،(ج،ج)،(ب،ج)،(ج،د)،(د،د)}
هذه العلاقة تحوي (أ،ب) لكنها لا تحوي(ب،أ)وتحوي (ب،ج)ولا تحوي(ج،ب) فهي علاقة لا تماثلثة وأما إن سألت عن (ج،ج)فالتعريف يؤكد أنه إذا وجد(س،ص) و(ص،س) في العلاقة اللاتماثلية فهذا لا يكون إلا إذا كانت س=ص
بمعنى آخر
وأريد هنا أن أبسّط التعريف:
حتى تكون لا تماثلية :إذا وجد (س،ص) فيجب أن لا يكون هناك (ص،س)
وإن سألت عن (س،س)فيمكن ذلك وليس هناك تضارب
فلا مانع في العلاقة المتخالفة أن تكون انعكاس ولكن يجب أن لا يوجد (ص،س) إذا وجد (س،ص)
دعني أطرح المثال الآتي: لتكن س={4،3،2،1}
ولتكن ع={(1،1)،(2،2)،(3،3)،(1،3)،(3،4)،(2،4)،(3،2)}
هذه العلاقة تسمى لاتماثلية لأن
(1،3)موجودة ولكن(3،1) غير موجودة في ع
(3،4)موجودة ولكن(4،3) غير موجودة
(2،4) موجودةولكن (4،2)غير موجودة
(3،2) موجودة ولكن (2،3)غير موجودة
اي انه لأي (س،ص) في ع لا يوجد (ص،س)
أما إن سألتني عن (1،1) ،(2،2) مثلا فلا مانع من وجودها ولا تعارض لأن التعريف يقول أنه إذا كان(س،ص) في ع وكان (ص،س)في ع فهنا لا بد أن تكون س=ص
وهنا وجدت(1،1) التي تمثل (س،ص) أما (ص،س)=(1،1) وهذه لا تكون إلا بالتساوي بين س و ص
يمكننا أستاذي الفاضل أن نسوق تعريفاً بطريقة أخرى وهو إذا وجد أي (س،ص) في ع فيجب أن لا يوجد (ص،س)في ع بشرط س لا تساوي ص
نرجو أن نبقى في تواصل مع خالص شكري وتقديري

 

 

أخي العزيز الاستاذ محمد حفظك الله ورعاك:
تعريفاتك التي أوردتها أجد فيها بعض الغموض وربما أكون مخطئاً في فهمي لها
فأنت قلت أن العلاقة المتماثلة على س :إذا كان (س،ص) ،(ص،س) في ع لكل س،ص في ع
وهذا باعتقادي وحسب التعريفات المعروفة للتماثل لا تشترط ذلك لكل س ، ص
فالعلاقة تكون متماثلة بالتعريف المبسط الآتي:
إذا وجد (س،ص) فيجب أن يكون هناك(ص،س) ولا يشترط ذلك بكل عناصر المجموعة س.
أي حتى أحكم على أن العلاقة تماثل أنظر إلى ع فإذا وجدت فيها (س،ص) فيجب أن يكون هناك (ص،س)ولكن لا اربط ذلك بكل عنصر من المجموعة
فمثلا لوكانت س={3،2،1} ،ع={(1،2)،(2،1)}هذه علاقة تماثل لتحقق الشرط.

في النقطة الثانية أضفت حضرتك أنه في العلاقة المتخالفة يكون س لا يساوي ص
وهذا ليس من ضمن التعريف فلا مانع أن تكون متخالفة وتكون انعكاس في نفس الوقت.
نلخص ما سبق:
للحكم على العلاقة أنها انعكاس يجب أن يرتبط كل عنصر من س مع نفسه
للحكم على أنها تماثل ننظر للعلاقة فإذا وجد (س،ص) فيجب أن يكون (ص،س)..أقول إذا وجد.
للحكم على انه ليست تماثل:إذا وجد (س،ص) ولم يوجد(ص،س)أي إذا وجد ولو زوج مرتب واحد مثل (2،1) ولم يوجد(1،2)

للحكم على انها متخالفة(لا تماثلية) :(لكل) (س،ص) في ع يجب ألا يكون هناك (ص،س)
وأختم بمثال آخير:
لتكن ع ={(أ،ب)،(أ،ج)،(ب،د)،(ج،أ)،(د،ج)}
هذه العلاقة ليست تماثل لأن (ب،د) في ع لكن (د،ب) ليس في ع أي مجرد وجود عنصر لا يحقق الشرط أصبحت ليست تماثل.
وهذه العلاقة ليست متخالفة (ليست لاتماثلية) لأن هناك (أ،ج)في ع وكذلك(ج،أ) لأنها حتى تكون لا تماثلية يجب ألا يكون (ص،س)إذا وجد (س،ص)
أسأل الله أن أكون قد استطعت أن اوصل الفكرة راجياً منك استاذي المسامحة على الإطالة