تمرين إحتمالات 13

17-03-2009, 02:58 AM

تمرين إحتمالات 13
لتكن المعادلة التفاضلية التالية:
${y}^{''}+2{y}^{'}=0.............(1)$
ليكن $X$ متغير عشوائي حقيقي، حيث تابع (دالة) توزيعه $F$ له الخواص التالية:
أ/ $F$ مستمر (متصل) على $\mathbb{R}$ .
ب/ $F$ ينعدم من أجل $x\leq 0$ .
ج/ $F$ حل للمعادلة التفاضلية (1) من أجل $x>0$ .

1/ حدد تابع التوزيع $F$ ثم أوجد الوسيط (Mediane) لـ $X$ ؟
2/ حدد تابع الكثافة لـ $X$ ثم أوجد المنوال (Mode) لـ $X$ ؟

ننتظر أفكاركم و مشاركاتكم
دمتم بخير

22-03-2009, 03:44 AM

السلام عليكم و رحمة الله
هذا حل التمرين 13
المعادلة التفاضلية (1) من الدرجة الأولى و خطية و متجانسة. من المعادلة المميزة $r(r+2)=0$ نجد الحل العام للمعادلة التفاضلية على الشكل: $\phi :x\rightarrow A+B{e}^{-2x}$ ، $\vee A,\vee B.$ .
يصبح لدينا: $F(x)=0$ من أجل $x\leq 0$ و $F(x)=A+B{e}^{-2x}$ من أجل $x>0$ .
أ/ $F$ مستمر عند 0 أي:
لدينا: $F(0)=0=\lim_{x\rightarrow {0}_{-}}F(x)$ يجب أن يكون أيضا:
$F(0)=0=\lim_{x\rightarrow {0}_{+}}F(x)=A+B$
ب/ تابع التوزيع $F$ متزايد تماما أي: من أجل $x>0$ : ${F}^{'}(x)=2A{e}^{-2x}\Rightarrow A>0.$
ج/ من جهة أخرى لدينا:
$\lim_{x\rightarrow +00}F(x)=1-0$
$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}\left(A-A{e}^{-2x} \right)=1$
$\Rightarrow A=1$ .
1/ مماسبق نجد تابع التوزيع معرف كمايلي:
$F(x)=0$ من أجل $x\leq 0$ .
$F(x)=1-{e}^{-2x}$ من أجل $x>0$ .
الوسيط لـ X : $F(x)=\frac{1}{2}\Rightarrow {e}^{-2x}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{1}{2}ln(2)$ و منه قيمة الوسيط هي: $x=\frac{1}{2}ln(2)$ .
2/ باشتقاق تابع التوزيع نجد تابع الكثافة و المعرف كمايلي:
$f(x)=0$ من أجل $x\leq 0$
$f(x)=2{e}^{-2x}$ من أجل $x>0$ .
المنوال هو : $X=0$
دمتم سالمين و بألف خير


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة