برهن صحة الجداء

09-07-2009, 01:31 AM

السلام عليكم

بين انه لكل عدد صحيح طبيعي $n$ اكبر قطعا من $1$ :

09-07-2009, 10:59 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم

بين انه لكل عدد صحيح طبيعي $n$ اكبر قطعا من $1$ :

هذه القاعدة ستفيدنا:

$\prod_{j=0}^{n} \cos(2^jx) = \frac{\sin(2^{n+1}x)}{2^{n+1}\sin x}$

سأحاول إثباتها.

09-07-2009, 07:15 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

هذه القاعدة ستفيدنا:

$\prod_{j=0}^{n} \cos(2^jx) = \frac{\sin(2^{n+1}x)}{2^{n+1}\sin x}$

سأحاول إثباتها.

في الحقيقة، إثبات هذه المتطابقة ليس بالأمر الصعب، الإستقراء الرياضي ينفع في هذه المسألة.

وهناك طريقة أخرى وجدتها:
لاحظ أن:

$2^n \sin x \cos x \cos 2x \cdots \cos 2^nx\\ = 2^{n-1}(\sin 2x + \sin 0)\cos 2x \cdots \cos 2^nx \\ \vdots \\ = \sin 2^{n+1}x$

وينتج المطلوب.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة